Sejam sen e . Determine: A reta normal em à superfície de nível de que passa por ;
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função de três variáveis, , e um ponto específico . O objetivo é determinar a reta normal em à superfície de nível de que passa por . Para resolver isso, vamos precisar calcular o gradiente da função no ponto , pois o gradiente nos dá a direção da normal à superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a cada variável:
Vamos calcular cada derivada parcial:
Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :
Portanto, o gradiente de é:
Passo 3
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto . Substituímos , e nas componentes do gradiente:
Primeira componente:
Sabemos que e , então:
Segunda componente:
Sabemos que , então:
Terceira componente:
Portanto, o gradiente no ponto é:
Passo 4
A reta normal à superfície de nível de no ponto tem a direção do gradiente . Para escrever a equação paramétrica dessa reta, usamos o ponto e a direção do gradiente. A equação paramétrica é dada por:
onde são as componentes do gradiente e é o parâmetro.
Substituindo os valores:
Resposta
A reta normal em à superfície de nível de é dada pelas equações paramétricas: