Sejam f(x, y, z) = z - e^(x) sen y e P = (ln(3), 3pi/2, -3). Determine: A reta normal em P à superfície de nível de f que passa por P;

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função de três variáveis, , e um ponto específico . O objetivo é determinar a reta normal em à superfície de nível de que passa por . Para resolver isso, vamos precisar calcular o gradiente da função no ponto , pois o gradiente nos dá a direção da normal à superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a cada variável:
Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :
Portanto, o gradiente de é:

Passo 3

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto . Substituímos , e nas componentes do gradiente:
  1. Primeira componente:
Sabemos que e , então:
  1. Segunda componente:
Sabemos que , então:
  1. Terceira componente:
Portanto, o gradiente no ponto é:

Passo 4

A reta normal à superfície de nível de no ponto tem a direção do gradiente . Para escrever a equação paramétrica dessa reta, usamos o ponto e a direção do gradiente. A equação paramétrica é dada por:
onde são as componentes do gradiente e é o parâmetro.
Substituindo os valores:

Resposta

A reta normal em à superfície de nível de é dada pelas equações paramétricas:

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