Sejam
sen
e
. Determine: O plano tangente a esta superfície em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar o plano tangente à superfície definida pela função no ponto
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, e entender como elas nos ajudam a determinar o plano tangente.
Passo 2
Primeiro, para achar o plano tangente, precisamos encontrar as derivadas parciais da função
em relação a
,
e
. Essas derivadas vão servir como componentes do vetor normal ao plano tangente.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
-
Derivada parcial em relação a
: -
Derivada parcial em relação a
: -
Derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto
:
Passo 5
Com as derivadas avaliadas, temos o vetor normal ao plano tangente:
A equação geral do plano tangente é dada por:
Substituindo os valores:
Passo 6
Agora, vamos simplificar a equação:
Resposta
O plano tangente à superfície em
é dado por:
Exercícios relacionados
Sejam
sen
e
. Determine: A reta normal em
à superfície de nível de
que passa por
;
Sejam
sen
e
. Determine:
;
Se
, prove que
satisfaz a equação diferencial parcial
Mostre que o plano osculador em cada ponto da curva, dada por
, é o mesmo plano. O que você pode concluir sobre a curva?