Sejam f(x, y, z) = z - e^(x) sen y e P = (ln(3), 3pi/2, -3). Determine: O plano tangente a esta superfície em P.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar o plano tangente à superfície definida pela função no ponto . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, e entender como elas nos ajudam a determinar o plano tangente.

Passo 2

Primeiro, para achar o plano tangente, precisamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a , e . Essas derivadas vão servir como componentes do vetor normal ao plano tangente.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
  • Derivada parcial em relação a :
  • Derivada parcial em relação a :
  • Derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :

Passo 5

Com as derivadas avaliadas, temos o vetor normal ao plano tangente:
A equação geral do plano tangente é dada por:
Substituindo os valores:

Passo 6

Agora, vamos simplificar a equação:

Resposta

O plano tangente à superfície em é dado por:

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