Sejam X1, ldots, X16 uma amostra aleatória simples extraída de X sim N(0, sigma^2). Se barX é a média amostral e S^2 a variância amostral, encontrar tc sabendo que P(|barXS| <= tc)=0,7. R. 0,2685 .

Passo 1

Beleza! Vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. Temos uma amostra aleatória simples de 16 observações $ X_{1}, ···, X_{16} $ extraídas de uma distribuição normal $ X \sim N\left(0, \sigma^{2}\right) $. Queremos encontrar o valor $ t_{c} $ tal que a probabilidade de $ \left|\frac{\bar{X}}{S}\right| $ ser menor ou igual a $ t_{c} $ é igual a 0,7. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística inferencial, especificamente a distribuição t de Student.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são $ \bar{X} $ e $ S^{2} $. A média amostral $ \bar{X} $ é a média das 16 observações, e $ S^{2} $ é a variância amostral. Como a população segue uma distribuição normal, a média amostral $ \bar{X} $ também seguirá uma distribuição normal com média 0 e variância $ \frac{\sigma^{2}}{n} $, onde $ n = 16 $.

Passo 3

Queremos analisar a razão $ \frac{\bar{X}}{S} $. Normalmente, quando analisamos algo da forma $ \frac{\bar{X} - \mu}{S/\sqrt{n}} $, isso segue uma distribuição t de Student com $ n-1 $ graus de liberdade. No nosso caso, como $ \mu = 0 $, a expressão simplifica para $ \frac{\bar{X}}{S/\sqrt{n}} $, que é igual a $ \frac{\sqrt{n} \cdot \bar{X}}{S} $.

Passo 4

No exercício, temos $ \frac{\bar{X}}{S} $ em vez de $ \frac{\sqrt{n} \cdot \bar{X}}{S} $. Então, podemos relacionar as duas expressões:
barXS
Sabendo que $ \frac{\sqrt{n} \cdot \bar{X}}{S} $ segue uma distribuição t de Student com $ n-1 = 15 $ graus de liberdade, podemos reescrever a probabilidade que queremos encontrar:
raizn cdot barXS

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o valor crítico $ t_{c} $ que satisfaz a equação acima. Primeiro, identificamos que estamos lidando com uma distribuição t de Student com 15 graus de liberdade. Queremos encontrar o valor $ t_{c} \cdot \sqrt{16} = t_{c} \cdot 4 $ que corresponde a uma probabilidade central de 0,7.
Para uma distribuição t com 15 graus de liberdade, consultando uma tabela ou usando uma calculadora estatística, encontramos que o valor $ t_{0,85} $ (pois 0,7 central + 0,15 na cauda superior) é aproximadamente 1,07.

Passo 6

Agora, resolvemos para $ t_{c} $:
tc
Arredondando para quatro casas decimais, temos:

Resposta

$ t_{c} \approx 0,2685 $

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