Uma fábrica de lâmpadas realiza um controle de qualidade medindo a durabilidade de suas lâmpadas. Sabe-se que a durabilidade das lâmpadas segue uma distribuição normal com média mu=800 horas e desvio-padrão sigma=50 horas. Uma amostra aleatória de 25 lâmpadas é retirada, e se a média amostral barX for menor que 780 horas, o lote é rejeitado. Caso a média seja superior a 780 horas, a empresa adiciona um custo de C=500(barX-mu)^2 reais ao valor de produção. Qual é a probabilidade de que o custo adicional seja menor que 50 reais? R.0, 024.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma fábrica que produz lâmpadas cuja durabilidade segue uma distribuição normal com média mu = 800 horas e desvio-padrão sigma = 50 horas. Foi retirada uma amostra de 25 lâmpadas, e a média dessa amostra é representada por barX. O exercício quer saber qual é a probabilidade de que o custo adicional seja menor que 50 reais, dado que o custo é calculado pela fórmula C = 500(barX - mu)^2. Para resolver isso, vamos precisar utilizar conceitos de distribuição normal e propriedades da média amostral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula do custo adicional: C = 500(barX - mu)^2. Queremos que esse custo seja menor que 50 reais. Então, estabelecemos a inequação:
500(barX - 800)^2 < 50

Passo 3

Vamos simplificar essa inequação para encontrar os valores de barX que satisfazem a condição:
(barX - 800)^2 < 50500 (barX - 800)^2 < 0,1

Passo 4

Agora, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para eliminar o quadrado:
|barX - 800| < raiz0,1 |barX - 800| < 0,3162
Isso significa que barX deve estar entre 800 - 0,3162 e 800 + 0,3162 horas.

Passo 5

Então:
799,6838 < barX < 800,3162

Passo 6

Sabemos que a média amostral barX segue uma distribuição normal com média mu = 800 e desvio-padrão sigmabarX = sigmaraizn = 50raiz25 = 10 horas.

Passo 7

Para encontrar a probabilidade desejada, vamos padronizar os limites usando o valor z:
z = barX - musigmabarX
Aplicando os limites:
Para barX = 799,6838:
z1 = 799,6838 - 80010 = -0,316210 = -0,03162
Para barX = 800,3162:
z2 = 800,3162 - 80010 = 0,316210 = 0,03162

Passo 8

Agora, queremos encontrar a probabilidade de z estar entre -0,03162 e 0,03162. Usando a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora:
P(-0,03162 < z < 0,03162) approx 0,024

Resposta

A probabilidade de que o custo adicional seja menor que 50 reais é aproximadamente 0,024.

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