Uma fábrica de lâmpadas realiza um controle de qualidade medindo a durabilidade de suas lâmpadas. Sabe-se que a durabilidade das lâmpadas segue uma distribuição normal com média
horas e desvio-padrão
horas. Uma amostra aleatória de 25 lâmpadas é retirada, e se a média amostral
for menor que 780 horas, o lote é rejeitado. Caso a média seja superior a 780 horas, a empresa adiciona um custo de
reais ao valor de produção. Qual é a probabilidade de que o custo adicional seja menor que 50 reais? R.0, 024.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma fábrica que produz lâmpadas cuja durabilidade segue uma distribuição normal com média
horas e desvio-padrão
horas. Foi retirada uma amostra de 25 lâmpadas, e a média dessa amostra é representada por
. O exercício quer saber qual é a probabilidade de que o custo adicional seja menor que 50 reais, dado que o custo é calculado pela fórmula
. Para resolver isso, vamos precisar utilizar conceitos de distribuição normal e propriedades da média amostral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula do custo adicional:
. Queremos que esse custo seja menor que 50 reais. Então, estabelecemos a inequação:
Passo 3
Vamos simplificar essa inequação para encontrar os valores de
que satisfazem a condição:
Passo 4
Agora, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para eliminar o quadrado:
Isso significa que
deve estar entre
e
horas.
Passo 5
Então:
Passo 6
Sabemos que a média amostral
segue uma distribuição normal com média
e desvio-padrão
horas.
Passo 7
Para encontrar a probabilidade desejada, vamos padronizar os limites usando o valor z:
Aplicando os limites:
Para
:
Para
:
Passo 8
Agora, queremos encontrar a probabilidade de
estar entre
e
. Usando a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora:
Resposta
A probabilidade de que o custo adicional seja menor que 50 reais é aproximadamente 0,024.