Sejam
um corpo rígido plano e
um vetor unitário perpendicular a
que define o eixo em torno do qual
gira. Suponha que
é comum aos referenciais fixo e móvel. Mostre que se
e
são as velocidades angulares de
relativamente a
nos referenciais fixo e móvel, então
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um corpo rígido plano
que gira em torno de um eixo definido por um vetor unitário
. Esse vetor
é perpendicular ao corpo e está presente tanto no referencial fixo quanto no móvel. O que precisamos mostrar é que as velocidades angulares
e
medidas nesses referenciais são iguais, ou seja,
.
Para resolver isso, vamos usar os conceitos de velocidade angular e como ela se comporta em referenciais diferentes. Vamos passo a passo entender como essas velocidades relacionam-se quando o eixo de rotação é comum aos referenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade angular de um corpo representa a taxa na qual o corpo gira em torno de um eixo. Matematicamente, ela é representada por um vetor
, cuja direção está alinhada com o eixo de rotação e cujo módulo indica a rapidez da rotação.
No nosso caso, temos dois referenciais: o fixo e o móvel. Ambos compartilham o mesmo eixo de rotação definido por
. Isso �� importante porque significa que o eixo de rotação não muda de direção entre os referenciais.
Passo 3
Agora, vamos pensar na relação entre as velocidades angulares nos dois referenciais. A fórmula geral que relaciona as velocidades angulares em referenciais diferentes é:
Aqui,
é a velocidade angular no referencial móvel,
é no referencial fixo, e
é a velocidade angular do referencial móvel em relação ao fixo.
Passo 4
No nosso problema, ambos os referenciais compartilham o mesmo eixo de rotação
. Isso implica que o referencial móvel não está girando em relação ao referencial fixo; ou seja, a velocidade angular relativa
é zero.
Passo 5
Substituindo
na equação anterior, temos:
Resposta
Portanto, mostramos que
.