Sejam R um corpo rígido plano e u um vetor unitário perpendicular a R que define o eixo em torno do qual R gira. Suponha que u é comum aos referenciais fixo e móvel. Mostre que se omega e Omega são as velocidades angulares de R relativamente a u nos referenciais fixo e móvel, então Omega=omega.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um corpo rígido plano que gira em torno de um eixo definido por um vetor unitário . Esse vetor é perpendicular ao corpo e está presente tanto no referencial fixo quanto no móvel. O que precisamos mostrar é que as velocidades angulares e medidas nesses referenciais são iguais, ou seja, .
Para resolver isso, vamos usar os conceitos de velocidade angular e como ela se comporta em referenciais diferentes. Vamos passo a passo entender como essas velocidades relacionam-se quando o eixo de rotação é comum aos referenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade angular de um corpo representa a taxa na qual o corpo gira em torno de um eixo. Matematicamente, ela é representada por um vetor , cuja direção está alinhada com o eixo de rotação e cujo módulo indica a rapidez da rotação.
No nosso caso, temos dois referenciais: o fixo e o móvel. Ambos compartilham o mesmo eixo de rotação definido por . Isso �� importante porque significa que o eixo de rotação não muda de direção entre os referenciais.

Passo 3

Agora, vamos pensar na relação entre as velocidades angulares nos dois referenciais. A fórmula geral que relaciona as velocidades angulares em referenciais diferentes é:
Omega = omega - omegarel
Aqui, é a velocidade angular no referencial móvel, é no referencial fixo, e é a velocidade angular do referencial móvel em relação ao fixo.

Passo 4

No nosso problema, ambos os referenciais compartilham o mesmo eixo de rotação omegarel = 0 . Isso implica que o referencial móvel não está girando em relação ao referencial fixo; ou seja, a velocidade angular relativa é zero.

Passo 5

Substituindo Omega = omega - 0 Rightarrow Omega = omega na equação anterior, temos:

Resposta

Portanto, mostramos que .

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