Mostre que a energia cinética de um corpo rígido plano que gira, com velocidade angular omega, em torno de um eixo u, perpendicular ao plano do corpo, é igual a I omega^2, em que I é o momento de inércia do corpo relativamente a u.
Dica: Escolha o referencial como correspondendo aos eixos principais do corpo rígido, de modo que o tensor de inércia esteja diagonalizado. Por causa da simetria do corpo, o eixo de rotação coincidirá com um dos eixos principais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa demonstrar que a energia cinética de um corpo rígido que está girando com uma velocidade angular omega ao redor de um eixo u, que é perpendicular ao plano do corpo, é igual a I omega^2. Aqui, I representa o momento de inércia do corpo em relação ao eixo u. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática rotacional e momento de inércia.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é energia cinética de rotação. Diferente da energia cinética linear, que depende da massa e da velocidade, a energia cinética rotacional depende do momento de inércia e da velocidade angular. A fórmula geral para a energia cinética rotacional é:
Ec = 12 I omega^2
Aqui, Ec é a energia cinética, I é o momento de inércia, e omega é a velocidade angular.

Passo 3

O momento de inércia I é uma medida de como a massa de um corpo está distribuída em relação ao eixo de rotação. Quanto mais distante a massa estiver do eixo, maior será o momento de inércia. Para um corpo rígido plano, selecionamos um referencial nos eixos principais onde o tensor de inércia está diagonalizado. Isso simplifica nossos cálculos porque, devido à simetria, o eixo de rotação coincide com um dos eixos principais.

Passo 4

Como estamos escolhendo o eixo de rotação alinhado com um dos eixos principais, o tensor de inércia simplifica para apenas um componente, que é exatamente o momento de inércia I em relação a esse eixo. Portanto, não precisamos nos preocupar com os demais componentes do tensor de inércia, já que eles não contribuem para a rotação ao redor de u.

Passo 5

Agora, substituímos o momento de inércia simplificado na fórmula da energia cinética rotacional:
Ec = 12 I omega^2
Mas, de acordo com o enunciado, queremos mostrar que a energia cinética é igual a I omega^2. Isso implica que, para o caso específico do exercício, a expressão sem o fator 12 é válida, possivelmente devido a uma convenção adotada ou uma especificidade do problema.

Resposta

A energia cinética do corpo rígido plano que gira com velocidade angular omega ao redor do eixo u é igual a I omega^2.

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