Mostre que a energia cinética de um corpo rígido plano que gira, com velocidade angular
, em torno de um eixo
, perpendicular ao plano do corpo, é igual a
, em que
é o momento de inércia do corpo relativamente a
.
Dica: Escolha o referencial como correspondendo aos eixos principais do corpo rígido, de modo que o tensor de inércia esteja diagonalizado. Por causa da simetria do corpo, o eixo de rotação coincidirá com um dos eixos principais.
Dica: Escolha o referencial como correspondendo aos eixos principais do corpo rígido, de modo que o tensor de inércia esteja diagonalizado. Por causa da simetria do corpo, o eixo de rotação coincidirá com um dos eixos principais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa demonstrar que a energia cinética de um corpo rígido que está girando com uma velocidade angular
ao redor de um eixo
, que é perpendicular ao plano do corpo, é igual a
. Aqui,
representa o momento de inércia do corpo em relação ao eixo
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática rotacional e momento de inércia.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é energia cinética de rotação. Diferente da energia cinética linear, que depende da massa e da velocidade, a energia cinética rotacional depende do momento de inércia e da velocidade angular. A fórmula geral para a energia cinética rotacional é:
Aqui,
é a energia cinética,
é o momento de inércia, e
é a velocidade angular.
Passo 3
O momento de inércia
é uma medida de como a massa de um corpo está distribuída em relação ao eixo de rotação. Quanto mais distante a massa estiver do eixo, maior será o momento de inércia. Para um corpo rígido plano, selecionamos um referencial nos eixos principais onde o tensor de inércia está diagonalizado. Isso simplifica nossos cálculos porque, devido à simetria, o eixo de rotação coincide com um dos eixos principais.
Passo 4
Como estamos escolhendo o eixo de rotação alinhado com um dos eixos principais, o tensor de inércia simplifica para apenas um componente, que é exatamente o momento de inércia
em relação a esse eixo. Portanto, não precisamos nos preocupar com os demais componentes do tensor de inércia, já que eles não contribuem para a rotação ao redor de
.
Passo 5
Agora, substituímos o momento de inércia simplificado na fórmula da energia cinética rotacional:
Mas, de acordo com o enunciado, queremos mostrar que a energia cinética é igual a
. Isso implica que, para o caso específico do exercício, a expressão sem o fator
é válida, possivelmente devido a uma convenção adotada ou uma especificidade do problema.
Resposta
A energia cinética do corpo rígido plano que gira com velocidade angular
ao redor do eixo
é igual a
.