Determine o lagrangiano de uma partícula de massa
em queda livre em um campo gravitacional constante e escreva a equação de lagrange correspondente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre o lagrangiano de uma partícula com massa $ m $ que está em queda livre num campo gravitacional constante. O que precisamos fazer é encontrar o lagrangiano dessa partícula e depois escrever a equação de Lagrange correspondente. Para isso, vamos precisar entender o que é o lagrangiano, que basicamente é uma função que descreve a dinâmica do sistema usando a energia cinética e potencial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o lagrangiano $ L $ é dado pela diferença entre a energia cinética $ T $ e a energia potencial $ V $:
Então, nosso primeiro passo é encontrar expressões para $ T $ e $ V $ da partícula em queda livre.
Passo 3
A energia cinética $ T $ de uma partícula é dada por:
Como a partícula está se movendo verticalmente, sua velocidade $ v $ pode ser representada pela derivada da posição $ y $ em relação ao tempo:
Então, a energia cinética fica:
Passo 4
Agora, vamos para a energia potencial $ V $. Em um campo gravitacional constante, a energia potencial é:
onde $ g $ é a aceleração da gravidade e $ y $ é a posição vertical da partícula.
Passo 5
Com as expressões de $ T $ e $ V $ encontradas, podemos montar o lagrangiano:
Passo 6
Agora, vamos escrever a equação de Lagrange. Para isso, usamos a fórmula:
Onde $ \dot{y} = \frac{dy}{dt} $.
Passo 7
Primeiro, calculamos $ \frac{\partial L}{\partial \dot{y}} $:
Depois, a derivada em relação ao tempo:
Onde $ \ddot{y} = \frac{d2y}{dt2} $.
Passo 8
Agora, calculamos $ \frac{\partial L}{\partial y} $:
Substituindo na equação de Lagrange:
Passo 9
Simplificando a equação:
Ou, rearranjando:
Essa é a equação de movimento da partícula em queda livre.
Resposta
O lagrangiano da partícula é
e a equação de Lagrange correspondente é