Determine o lagrangiano de uma partícula de massa m em queda livre em um campo gravitacional constante e escreva a equação de lagrange correspondente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre o lagrangiano de uma partícula com massa $ m $ que está em queda livre num campo gravitacional constante. O que precisamos fazer é encontrar o lagrangiano dessa partícula e depois escrever a equação de Lagrange correspondente. Para isso, vamos precisar entender o que é o lagrangiano, que basicamente é uma função que descreve a dinâmica do sistema usando a energia cinética e potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o lagrangiano $ L $ é dado pela diferença entre a energia cinética $ T $ e a energia potencial $ V $:
L
Então, nosso primeiro passo é encontrar expressões para $ T $ e $ V $ da partícula em queda livre.

Passo 3

A energia cinética $ T $ de uma partícula é dada por:
T
Como a partícula está se movendo verticalmente, sua velocidade $ v $ pode ser representada pela derivada da posição $ y $ em relação ao tempo:
T = 12 m v^2
Então, a energia cinética fica:
v

Passo 4

Agora, vamos para a energia potencial $ V $. Em um campo gravitacional constante, a energia potencial é:
V
onde $ g $ é a aceleração da gravidade e $ y $ é a posição vertical da partícula.

Passo 5

Com as expressões de $ T $ e $ V $ encontradas, podemos montar o lagrangiano:
T

Passo 6

Agora, vamos escrever a equação de Lagrange. Para isso, usamos a fórmula:
ddt ( partial Lpartial doty ) - partial Lpartial y = 0
Onde $ \dot{y} = \frac{dy}{dt} $.

Passo 7

Primeiro, calculamos $ \frac{\partial L}{\partial \dot{y}} $:
partial Lpartial doty
Depois, a derivada em relação ao tempo:
partial Lpartial doty = m doty
Onde $ \ddot{y} = \frac{d2y}{dt2} $.

Passo 8

Agora, calculamos $ \frac{\partial L}{\partial y} $:
partial Lpartial y
Substituindo na equação de Lagrange:
partial Lpartial y = -m g
m ddoty - (-m g) = 0

Passo 9

Simplificando a equação:
ddoty + g = 0
Ou, rearranjando:
ddoty = -g
Essa é a equação de movimento da partícula em queda livre.

Resposta

O lagrangiano da partícula é
L = 12 m ( dydt )^2 - m g y
e a equação de Lagrange correspondente é
ddoty = -g

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