Sejam S=(1,2),(0,1) e T=(1,1),(2,3) bases para R^2. Sejam também v=(1,5) e w=(5,4).
c) Encontre os vetores de coordenadas de v e w em relação a S usando PT^S.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Álgebra Linear que envolve bases e mudança de coordenadas. Temos duas bases para o espaço vetorial :
  • Base
  • Base
Além disso, temos dois vetores:
A tarefa é encontrar as coordenadas dos vetores e em relação à base , utilizando a matriz de mudança de base . Ou seja, queremos expressar e em termos dos vetores que formam a base .

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é a matriz de mudança de base . Essa matriz serve para converter coordenadas de um vetor que estão na base para coordenadas na base .
Para construir , vamos seguir estes passos:
  1. Escrever os vetores da base em termos da base .
  2. Organizar esses vetores como colunas na matriz .

Passo 3

Vamos começar expressando os vetores da base (1,1) = a cdot (1,2) + b cdot (0,1) em termos da base (2,3) = c cdot (1,2) + d cdot (0,1) .
Isso significa que queremos encontrar coeficientes e tais que:
E também:
Vamos resolver essas equações para encontrar , , e .

Passo 4

Vamos resolver a primeira equação:
(1,1) = a cdot (1,2) + b cdot (0,1)
Isso nos dá o sistema:
1 = a cdot 1 + b cdot 0 Rightarrow a = 1
1 = a cdot 2 + b cdot 1 Rightarrow 1 = 2 cdot 1 + b Rightarrow b = -1
Então, os coeficientes para o primeiro vetor de são e .

Passo 5

Agora, vamos resolver a segunda equação:
(2,3) = c cdot (1,2) + d cdot (0,1)
Isso nos dá o sistema:
2 = c cdot 1 + d cdot 0 Rightarrow c = 2
3 = c cdot 2 + d cdot 1 Rightarrow 3 = 2 cdot 2 + d Rightarrow d = -1
Então, os coeficientes para o segundo vetor de são e .

Passo 6

Com esses coeficientes, podemos construir a matriz de mudança de base PT^S = 1 & 2 -1 & -1 :
Essa matriz nos permite converter coordenadas de para .

Passo 7

Agora, queremos encontrar as coordenadas dos vetores e na base . Para isso, vamos usar a matriz .
Primeiro, representamos e na base . Mas, como já queremos as coordenadas em , podemos utilizar diretamente a matriz para realizar a conversão.
Na verdade, para simplificar, podemos inverter a matriz para converter diretamente de para as coordenadas em .

Passo 8

Vamos calcular a inversa de (PT^S)^-1 = 1(1)(-1) - (2)(-1) -1 & -2 1 & 1 = 1-1 + 2 -1 & -2 1 & 1 = 1 cdot -1 & -2 1 & 1 , que denotaremos por (PT^S)^-1 = -1 & -2 1 & 1 :
Então,

Passo 9

Agora, aplicamos essa matriz inversa aos vetores -1 & -2 1 & 1 1 5 = -1 cdot 1 + (-2) cdot 5 1 cdot 1 + 1 cdot 5 = -1 -10 1 + 5 = -11 6 e -1 & -2 1 & 1 5 4 = -1 cdot 5 + (-2) cdot 4 1 cdot 5 + 1 cdot 4 = -5 -8 5 + 4 = -13 9 para encontrar suas coordenadas em :
Para :
Então, as coordenadas de em são .
Para :
Então, as coordenadas de em são .

Resposta

As coordenadas dos vetores em relação à base v = (-11, 6) e w = (-13, 9) são:

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