Sejam
e
bases para
. Sejam também
e
.
c) Encontre os vetores de coordenadas de
e
em relação a
usando
.
c) Encontre os vetores de coordenadas de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Álgebra Linear que envolve bases e mudança de coordenadas. Temos duas bases para o espaço vetorial
:
- Base
- Base
Além disso, temos dois vetores:
A tarefa é encontrar as coordenadas dos vetores
e
em relação à base
, utilizando a matriz de mudança de base
. Ou seja, queremos expressar
e
em termos dos vetores que formam a base
.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é a matriz de mudança de base
. Essa matriz serve para converter coordenadas de um vetor que estão na base
para coordenadas na base
.
Para construir
, vamos seguir estes passos:
- Escrever os vetores da base
em termos da base . - Organizar esses vetores como colunas na matriz
.
Passo 3
Vamos começar expressando os vetores da base
em termos da base
.
Isso significa que queremos encontrar coeficientes
e
tais que:
E também:
Vamos resolver essas equações para encontrar
,
,
e
.
Passo 4
Vamos resolver a primeira equação:
Isso nos dá o sistema:
Então, os coeficientes para o primeiro vetor de
são
e
.
Passo 5
Agora, vamos resolver a segunda equação:
Isso nos dá o sistema:
Então, os coeficientes para o segundo vetor de
são
e
.
Passo 6
Com esses coeficientes, podemos construir a matriz de mudança de base
:
Essa matriz nos permite converter coordenadas de
para
.
Passo 7
Agora, queremos encontrar as coordenadas dos vetores
e
na base
. Para isso, vamos usar a matriz
.
Primeiro, representamos
e
na base
. Mas, como já queremos as coordenadas em
, podemos utilizar diretamente a matriz
para realizar a conversão.
Na verdade, para simplificar, podemos inverter a matriz
para converter diretamente de
para as coordenadas em
.
Passo 8
Vamos calcular a inversa de
, que denotaremos por
:
Então,
Passo 9
Agora, aplicamos essa matriz inversa aos vetores
e
para encontrar suas coordenadas em
:
Para
:
Então, as coordenadas de
em
são
.
Para
:
Então, as coordenadas de
em
são
.
Resposta
As coordenadas dos vetores em relação à base
são: