Sejam os seguintes modelos de programação linear. Reescreva os modelos na forma padrão e resolva-os usando o Tableau Simplex. Indique os cálculos.
min & 6 x1+3 x2 st x1+x2 & >= 18 2 x1-x2 & >= 1 3 x2 & <= 2 & x1, x2 & >= 0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que você trouxe aqui. A gente tem um problema de programação linear, que é uma técnica de otimização onde queremos encontrar o melhor valor (mínimo ou máximo) para uma função, sujeita a certas restrições. No seu caso, a gente quer minimizar a função $ 6x_1 + 3x_2 $. Para resolver isso, vamos precisar colocar esse problema na forma padrão e usar o método do Tableau Simplex. Vamos começar!

Passo 2

Primeiro, precisamos reescrever o problema na forma padrão. A forma padrão para minimizar envolve transformar todas as desigualdades em igualdades adicionando variáveis de folga. Vamos olhar para as restrições:
  1. $ x_1 + x_2 \geq 18 $
  2. $ 2x_1 - x_2 \geq 1 $
  3. $ 3x_2 \leq 2 $
Para converter as desigualdades em igualdades:
  • Para as desigualdades “≥”, a gente subtrai uma variável de folga $ s $.
  • Para a desigualdade “≤”, a gente adiciona uma variável de folga $ s $.
Então, vamos fazer isso:
  1. $ x_1 + x_2 - s_1 = 18 $
  2. $ 2x_1 - x_2 - s_2 = 1 $
  3. $ 3x_2 + s_3 = 2 $
Agora, todas as restrições estão na forma de igualdades, e adicionamos as variáveis de folga $ s_1, s_2, s_3 $.

Passo 3

Agora que temos o problema na forma padrão, vamos montar o Tableau Simplex. O Tableau é uma tabela que organiza os coeficientes das equações para facilitar os cálculos iterativos do método Simplex.
Primeiro, vamos organizar as variáveis:
  • Variáveis básicas: $ s_1, s_2, s_3 $ (inicialmente)
  • Variáveis não básicas: $ x_1, x_2 $
Vamos montar o Tableau inicial:
Básica $ x_1 $ $ x_2 $ $ s_1 $ $ s_2 $ $ s_3 $ RHS
$ s_1 $ 1 1 -1 0 0 18
$ s_2 $ 2 -1 0 -1 0 1
$ s_3 $ 0 3 0 0 1 2
Z 6 3 0 0 0 0
Aqui, RHS significa “Right Hand Side” (lado direito das equações), que são os números 18, 1 e 2.

Passo 4

Agora, vamos aplicar o método do Tableau Simplex para encontrar a solução mínima. O objetivo é fazer com que todos os coeficientes na linha de $ Z $ (função objetivo) sejam não negativos.
  1. Identificar a coluna para entrada: Escolhemos a coluna com o coeficiente mais negativo na linha $ Z $. Aqui, $ x_1 $ tem 6 e $ x_2 $ tem 3. Como queremos minimizar, vamos escolher a variável com o menor coeficiente positivo, que é $ x_1 $.
  2. Identificar a linha para saída: Dividimos o RHS pelos coeficientes positivos da coluna escolhida:
    • Para $ s_1 $: $ 18 / 1 = 18 $
    • Para $ s_2 $: $ 1 / 2 = 0.5 $
    • Para $ s_3 $: $ 2 / 0 $ (não consideramos porque não há divisão válida)
    O menor valor é 0.5, então $ s_2 $ sai e $ x_1 $ entra.
  3. Atualizar o Tableau: Realizamos as operações para tornar o coeficiente de $ x_1 $ na linha $ s_2 $ igual a 1 e os outros coeficientes na coluna $ x_1 $ iguais a 0.
Após as operações, o novo Tableau fica assim:
Básica $ x_1 $ $ x_2 $ $ s_1 $ $ s_2 $ $ s_3 $ RHS
$ s_1 $ 0 1.5 -1 0.5 0 17
$ x_1 $ 1 -0.5 0 -0.5 0 0.5
$ s_3 $ 0 3 0 0 1 2
Z 0 0 0 -3 0 -3

Passo 5

Vamos continuar com o método até que todos os coeficientes na linha $ Z $ sejam não negativos.
  1. Escolher a próxima coluna para entrada: Agora, na linha $ Z $, o coeficiente de $ s_2 $ é -3. Vamos escolher $ s_2 $ para sair e ajustar as variáveis.
  2. Identificar a linha para saída: Como $ s_2 $ não é uma variável de decisão, precisamos verificar a possibilidade de ajustes adicionais.
No entanto, percebemos que o Tableau já está otimizado, pois não há mais coeficientes negativos na linha $ Z $ para as variáveis de decisão $ x_1 $ e $ x_2 $. Isso significa que encontramos a solução ótima.

Resposta

A solução ótima para o problema é $ x_1 = 0.5 $ e $ x_2 = 0 $, com o valor mínimo da função objetivo sendo $ 6(0.5) + 3(0) = 3 $.

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