Sejam os seguintes modelos de programação linear. Reescreva os modelos na forma padrão e resolva-os usando o Tableau Simplex. Indique os cálculos.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que você trouxe aqui. A gente tem um problema de programação linear, que é uma técnica de otimização onde queremos encontrar o melhor valor (mínimo ou máximo) para uma função, sujeita a certas restrições. No seu caso, a gente quer minimizar a função $ 6x_1 + 3x_2 $. Para resolver isso, vamos precisar colocar esse problema na forma padrão e usar o método do Tableau Simplex. Vamos começar!
Passo 2
Primeiro, precisamos reescrever o problema na forma padrão. A forma padrão para minimizar envolve transformar todas as desigualdades em igualdades adicionando variáveis de folga. Vamos olhar para as restrições:
- $ x_1 + x_2 \geq 18 $
- $ 2x_1 - x_2 \geq 1 $
- $ 3x_2 \leq 2 $
Para converter as desigualdades em igualdades:
- Para as desigualdades “≥”, a gente subtrai uma variável de folga $ s $.
- Para a desigualdade “≤”, a gente adiciona uma variável de folga $ s $.
Então, vamos fazer isso:
- $ x_1 + x_2 - s_1 = 18 $
- $ 2x_1 - x_2 - s_2 = 1 $
- $ 3x_2 + s_3 = 2 $
Agora, todas as restrições estão na forma de igualdades, e adicionamos as variáveis de folga $ s_1, s_2, s_3 $.
Passo 3
Agora que temos o problema na forma padrão, vamos montar o Tableau Simplex. O Tableau é uma tabela que organiza os coeficientes das equações para facilitar os cálculos iterativos do método Simplex.
Primeiro, vamos organizar as variáveis:
- Variáveis básicas: $ s_1, s_2, s_3 $ (inicialmente)
- Variáveis não básicas: $ x_1, x_2 $
Vamos montar o Tableau inicial:
Básica | $ x_1 $ | $ x_2 $ | $ s_1 $ | $ s_2 $ | $ s_3 $ | RHS |
---|---|---|---|---|---|---|
$ s_1 $ | 1 | 1 | -1 | 0 | 0 | 18 |
$ s_2 $ | 2 | -1 | 0 | -1 | 0 | 1 |
$ s_3 $ | 0 | 3 | 0 | 0 | 1 | 2 |
Z | 6 | 3 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Aqui, RHS significa “Right Hand Side” (lado direito das equações), que são os números 18, 1 e 2.
Passo 4
Agora, vamos aplicar o método do Tableau Simplex para encontrar a solução mínima. O objetivo é fazer com que todos os coeficientes na linha de $ Z $ (função objetivo) sejam não negativos.
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Identificar a coluna para entrada: Escolhemos a coluna com o coeficiente mais negativo na linha $ Z $. Aqui, $ x_1 $ tem 6 e $ x_2 $ tem 3. Como queremos minimizar, vamos escolher a variável com o menor coeficiente positivo, que é $ x_1 $.
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Identificar a linha para saída: Dividimos o RHS pelos coeficientes positivos da coluna escolhida:
- Para $ s_1 $: $ 18 / 1 = 18 $
- Para $ s_2 $: $ 1 / 2 = 0.5 $
- Para $ s_3 $: $ 2 / 0 $ (não consideramos porque não há divisão válida)
O menor valor é 0.5, então $ s_2 $ sai e $ x_1 $ entra. -
Atualizar o Tableau: Realizamos as operações para tornar o coeficiente de $ x_1 $ na linha $ s_2 $ igual a 1 e os outros coeficientes na coluna $ x_1 $ iguais a 0.
Após as operações, o novo Tableau fica assim:
Básica | $ x_1 $ | $ x_2 $ | $ s_1 $ | $ s_2 $ | $ s_3 $ | RHS |
---|---|---|---|---|---|---|
$ s_1 $ | 0 | 1.5 | -1 | 0.5 | 0 | 17 |
$ x_1 $ | 1 | -0.5 | 0 | -0.5 | 0 | 0.5 |
$ s_3 $ | 0 | 3 | 0 | 0 | 1 | 2 |
Z | 0 | 0 | 0 | -3 | 0 | -3 |
Passo 5
Vamos continuar com o método até que todos os coeficientes na linha $ Z $ sejam não negativos.
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Escolher a próxima coluna para entrada: Agora, na linha $ Z $, o coeficiente de $ s_2 $ é -3. Vamos escolher $ s_2 $ para sair e ajustar as variáveis.
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Identificar a linha para saída: Como $ s_2 $ não é uma variável de decisão, precisamos verificar a possibilidade de ajustes adicionais.
No entanto, percebemos que o Tableau já está otimizado, pois não há mais coeficientes negativos na linha $ Z $ para as variáveis de decisão $ x_1 $ e $ x_2 $. Isso significa que encontramos a solução ótima.
Resposta
A solução ótima para o problema é $ x_1 = 0.5 $ e $ x_2 = 0 $, com o valor mínimo da função objetivo sendo $ 6(0.5) + 3(0) = 3 $.