Sejam os seguintes modelos de programação linear. Reescreva os modelos na forma padrão e resolva-os usando o Tableau Simplex. Indique os cálculos.
max & 2 x1+3 x2+x3 st x1+x2+x3 & <= 40 2 x1+x2-x3 & >= 10 -x2+x3 & >= 10 & x1, x2, x3 & >= 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Programação Linear, que faz parte da matemática aplicada. Nosso objetivo é reescrever o modelo dado na forma padrão e depois resolver usando o Método Simplex, que é uma técnica poderosa para encontrar o melhor resultado possível em problemas de otimização. Para isso, vamos precisar entender como transformar as desigualdades em equações e montar o Tableau Simplex para chegar à solução final.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar as restrições na forma padrão. Isso significa que todas as inequações precisam se transformar em igualdades usando variáveis de folga ou excedente.
A gente começa com as restrições originais:
  1. $ x_{1} + x_{2} + x_{3} \leq 40 $
  2. $ 2x_{1} + x_{2} - x_{3} \geq 10 $
  3. $ -x_{2} + x_{3} \geq 10 $
Para a primeira restrição, que é do tipo “menor ou igual a”, adicionamos uma variável de folga ($ s_{1} $):
x1 + x2 + x3 <= 40
2x1 + x2 - x3 >= 10
Já para as outras duas restrições, que são do tipo “maior ou igual a”, precisamos adicionar variáveis de excedente ($ e_{1} $ e $ e_{2} $) e possivelmente variáveis artificiais se necessário:
-x2 + x3 >= 10
s1
x1 + x2 + x3 + s1 = 40
Agora, temos todas as restrições na forma padrão com igualdades.

Passo 3

Com as restrições na forma padrão, vamos montar o Tableau Simplex inicial. O objetivo é maximizar $ Z = 2x_{1} + 3x_{2} + x_{3} $, então colocamos isso na primeira linha do tableau. As colunas representarão as variáveis $ x_{1}, x_{2}, x_{3}, s_{1}, e_{1}, e_{2}, Z $.
Z = 2x1 + 3x2 + x3
Note que os coeficientes da função objetivo estão negativos porque estamos preparando para maximizar.

Passo 4

Agora, vamos aplicar o Método Simplex passo a passo:
  1. Identificar a coluna de entrada: Olha a linha de $ Z $, o coeficiente mais negativo é -3 em $ x_{2} $. Então, $ x_{2} $ entra na base.
  2. Identificar a linha de saída: Fazemos a divisão dos valores do lado direito pelas entradas positivas da coluna $ x_{2} $:
    • Para $ s_{1} $: $ 40 / 1 = 40 $
    • Para $ e_{1} $: $ 10 / 1 = 10 $
    • Para $ e_{2} $: não é válido porque o coeficiente é negativo.
      O menor resultado é 10, então $ e_{1} $ sai da base.
  3. Pivotar: Ajustamos a tabela para que $ x_{2} $ entre e $ e_{1} $ saia.
Após o pivotamento, a nova tabela fica assim:
Z
  1. Repetir o processo: Agora, na linha de $ Z $, o coeficiente mais negativo é -4 em $ x_{3} $. Então, $ x_{3} $ entra.
  2. Identificar a linha de saída: Dividindo:
    • Para $ s_{1} $: $ 30 / 2 = 15 $
    • Para $ e_{2} $: $ 10 / 1 = 10 $
      O menor é 10, então $ e_{2} $ sai.
  3. Pivotar novamente:
A tabela final fica:
x2
Agora, na linha de $ Z $, não há mais coeficientes negativos, o que significa que chegamos à solução ótima.

Resposta

A solução ótima do problema é $ x_{1} = 10 $, $ x_{2} = 20 $, $ x_{3} = 10 $ com o valor máximo de $ Z = 70 $.

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