Sejam os seguintes modelos de programação linear. Reescreva os modelos na forma padrão e resolva-os usando o Tableau Simplex. Indique os cálculos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Programação Linear, que faz parte da matemática aplicada. Nosso objetivo é reescrever o modelo dado na forma padrão e depois resolver usando o Método Simplex, que é uma técnica poderosa para encontrar o melhor resultado possível em problemas de otimização. Para isso, vamos precisar entender como transformar as desigualdades em equações e montar o Tableau Simplex para chegar à solução final.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar as restrições na forma padrão. Isso significa que todas as inequações precisam se transformar em igualdades usando variáveis de folga ou excedente.
A gente começa com as restrições originais:
- $ x_{1} + x_{2} + x_{3} \leq 40 $
- $ 2x_{1} + x_{2} - x_{3} \geq 10 $
- $ -x_{2} + x_{3} \geq 10 $
Para a primeira restrição, que é do tipo “menor ou igual a”, adicionamos uma variável de folga ($ s_{1} $):
Já para as outras duas restrições, que são do tipo “maior ou igual a”, precisamos adicionar variáveis de excedente ($ e_{1} $ e $ e_{2} $) e possivelmente variáveis artificiais se necessário:
Agora, temos todas as restrições na forma padrão com igualdades.
Passo 3
Com as restrições na forma padrão, vamos montar o Tableau Simplex inicial. O objetivo é maximizar $ Z = 2x_{1} + 3x_{2} + x_{3} $, então colocamos isso na primeira linha do tableau. As colunas representarão as variáveis $ x_{1}, x_{2}, x_{3}, s_{1}, e_{1}, e_{2}, Z $.
Note que os coeficientes da função objetivo estão negativos porque estamos preparando para maximizar.
Passo 4
Agora, vamos aplicar o Método Simplex passo a passo:
- Identificar a coluna de entrada: Olha a linha de $ Z $, o coeficiente mais negativo é -3 em $ x_{2} $. Então, $ x_{2} $ entra na base.
- Identificar a linha de saída: Fazemos a divisão dos valores do lado direito pelas entradas positivas da coluna $ x_{2} $:
- Para $ s_{1} $: $ 40 / 1 = 40 $
- Para $ e_{1} $: $ 10 / 1 = 10 $
- Para $ e_{2} $: não é válido porque o coeficiente é negativo.
O menor resultado é 10, então $ e_{1} $ sai da base.
- Pivotar: Ajustamos a tabela para que $ x_{2} $ entre e $ e_{1} $ saia.
Após o pivotamento, a nova tabela fica assim:
-
Repetir o processo: Agora, na linha de $ Z $, o coeficiente mais negativo é -4 em $ x_{3} $. Então, $ x_{3} $ entra.
-
Identificar a linha de saída: Dividindo:
- Para $ s_{1} $: $ 30 / 2 = 15 $
- Para $ e_{2} $: $ 10 / 1 = 10 $
O menor é 10, então $ e_{2} $ sai.
-
Pivotar novamente:
A tabela final fica:
Agora, na linha de $ Z $, não há mais coeficientes negativos, o que significa que chegamos à solução ótima.
Resposta
A solução ótima do problema é $ x_{1} = 10 $, $ x_{2} = 20 $, $ x_{3} = 10 $ com o valor máximo de $ Z = 70 $.