Sejam X1 sim N(2,3), X2 sim N(2,4), X3 sim N(4,4) e X4 sim N(4,2) v.a independentes. Calcular P(10 <= X1+2 X2+X3+X4 <= 14).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para calcular a probabilidade de que a soma X1 + 2X2 + X3 + X4 esteja entre 10 e 14, onde cada Xi segue uma distribuição normal diferente e são independentes. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de distribuição normal e propriedades de combinações lineares de variáveis aleatórias normais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as médias e as variâncias de cada variável:
  • X1 sim N(mu1=2, sigma1^2=3)
  • X2 sim N(mu2=2, sigma2^2=4)
  • X3 sim N(mu3=4, sigma3^2=4)
  • X4 sim N(mu4=4, sigma4^2=2)

Passo 3

Como temos uma combinação linear das variáveis, ou seja, Y = X1 + 2X2 + X3 + X4, precisamos encontrar a média ( muY) e a variância ( sigmaY^2) dessa nova variável Y. Para isso, usamos as seguintes fórmulas:
  • Média da combinação linear:
    muY = a1mu1 + a2mu2 + a3mu3 + a4mu4
  • Variância da combinação linear (como as variáveis são independentes):
    sigmaY^2 = a1^2sigma1^2 + a2^2sigma2^2 + a3^2sigma3^2 + a4^2sigma4^2
Onde ai são os coeficientes das variáveis na combinação linear.

Passo 4

Vamos aplicar as fórmulas com nossos valores:
  • Para a média:
    muY = 1 cdot 2 + 2 cdot 2 + 1 cdot 4 + 1 cdot 4 = 2 + 4 + 4 + 4 = 14
  • Para a variância:
    sigmaY^2 = 1^2 cdot 3 + 2^2 cdot 4 + 1^2 cdot 4 + 1^2 cdot 2 = 3 + 16 + 4 + 2 = 25
Então, Y sim N(14, 25).

Passo 5

Agora, queremos calcular a probabilidade P(10 <= Y <= 14). Para isso, vamos padronizar a variável Y para usar a tabela da distribuição normal padrão. A fórmula de padronização é:
Z = Y - muYsigmaY
Onde muY = 14 e sigmaY = raiz25 = 5.
Vamos calcular os valores de Z para Y = 10 e Y = 14:
  • Para Y = 10:
    Z1 = 10 - 145 = -45 = -0,8
  • Para Y = 14:
    Z2 = 14 - 145 = 0

Passo 6

Agora, precisamos encontrar P(-0,8 <= Z <= 0). Usando a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora, encontramos:
  • P(Z <= 0) = 0,5 (pois Z=0 é o ponto médio da distribuição)
  • P(Z <= -0,8) approx 0,2119
Então,
P(-0,8 <= Z <= 0) = P(Z <= 0) - P(Z <= -0,8) = 0,5 - 0,2119 = 0,2881

Resposta

A probabilidade de que 10 <= X1 + 2X2 + X3 + X4 <= 14 é aproximadamente 0,2881 ou 28,81%.

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