Sejam e v.a independentes. Calcular .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para calcular a probabilidade de que a soma esteja entre 10 e 14, onde cada segue uma distribuição normal diferente e são independentes. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de distribuição normal e propriedades de combinações lineares de variáveis aleatórias normais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as médias e as variâncias de cada variável:

Passo 3

Como temos uma combinação linear das variáveis, ou seja, , precisamos encontrar a média ( ) e a variância ( ) dessa nova variável . Para isso, usamos as seguintes fórmulas:
  • Média da combinação linear:
  • Variância da combinação linear (como as variáveis são independentes):
Onde são os coeficientes das variáveis na combinação linear.

Passo 4

Vamos aplicar as fórmulas com nossos valores:
  • Para a média:
  • Para a variância:
Então, .

Passo 5

Agora, queremos calcular a probabilidade . Para isso, vamos padronizar a variável para usar a tabela da distribuição normal padrão. A fórmula de padronização é:
Onde e .
Vamos calcular os valores de para e :
  • Para :
  • Para :

Passo 6

Agora, precisamos encontrar . Usando a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora, encontramos:
  • (pois é o ponto médio da distribuição)
Então,

Resposta

A probabilidade de que é aproximadamente ou .

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As taxas médias geométricas de incremento anual (por 100 habitantes) dos 30 maiores municípios do Brasil estão dadas abaixo.
3,67 1,82 3,73 4,10 4,30
1,28 8,14 2,43 4,17 5,36
3,96 6,54 5,84 7,35 3,63
2,93 2,82 8,45 5,28 5,41
7,77 4,65 1,88 2,12 4,26
(b) Construa um gráfico de dispersão unidimensional.