Sejam
e
v.a independentes. Calcular
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para calcular a probabilidade de que a soma
esteja entre 10 e 14, onde cada
segue uma distribuição normal diferente e são independentes. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de distribuição normal e propriedades de combinações lineares de variáveis aleatórias normais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as médias e as variâncias de cada variável:
Passo 3
Como temos uma combinação linear das variáveis, ou seja,
, precisamos encontrar a média (
) e a variância (
) dessa nova variável
. Para isso, usamos as seguintes fórmulas:
-
Média da combinação linear:
-
Variância da combinação linear (como as variáveis são independentes):
Onde
são os coeficientes das variáveis na combinação linear.
Passo 4
Vamos aplicar as fórmulas com nossos valores:
-
Para a média:
-
Para a variância:
Então,
.
Passo 5
Agora, queremos calcular a probabilidade
. Para isso, vamos padronizar a variável
para usar a tabela da distribuição normal padrão. A fórmula de padronização é:
Onde
e
.
Vamos calcular os valores de
para
e
:
-
Para
: -
Para
:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar
. Usando a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora, encontramos:
-
(pois é o ponto médio da distribuição) -
Então,
Resposta
A probabilidade de que
é aproximadamente
ou
.
Exercícios relacionados
Seja
tal que
e
. Determinar
e
.
Sejam
e
v.a independentes. Se
. Calcular
.
Três moedas viciadas são lançadas de forma independente. As probabilidades de obter cara em cada moeda são, respectivamente,
,
e
. Usando o conceito de independência de variáveis aleatórias e suas propriedades: Calcule a esperança
, a variância
e o desvio padrão
da variável aleatória
.
As taxas médias geométricas de incremento anual (por 100 habitantes) dos 30 maiores municípios do Brasil estão dadas abaixo.
3,67 | 1,82 | 3,73 | 4,10 | 4,30 |
---|---|---|---|---|
1,28 | 8,14 | 2,43 | 4,17 | 5,36 |
3,96 | 6,54 | 5,84 | 7,35 | 3,63 |
2,93 | 2,82 | 8,45 | 5,28 | 5,41 |
7,77 | 4,65 | 1,88 | 2,12 | 4,26 |
(b) Construa um gráfico de dispersão unidimensional.