Sejam
e
v.a independentes. Se
. Calcular
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício onde temos quatro variáveis aleatórias
e
que seguem distribuições normais diferentes e são independentes. A gente precisa calcular a probabilidade de que o valor absoluto de
seja maior que 3, ou seja,
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuições normais e combinações lineares de variáveis aleatórias.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como
está definido:
Aqui,
é uma combinação linear das variáveis
e
. Como todas elas são normais e independentes, uma combinação linear delas também seguirá uma distribuição normal. Então, precisamos encontrar a média e a variância de
.
Passo 3
Vamos calcular a média de
. A média de uma combinação linear de variáveis é a combinação linear das médias:
Sabendo que:
Substituindo:
Então, a média de
é 2.
Passo 4
Agora, vamos calcular a variância de
. Como as variáveis são independentes, a variância de uma combinação linear é a soma das variâncias de cada termo multiplicado pelo quadrado de seus coeficientes:
Sabendo que:
Substituindo:
Então, a variância de
é 9.
Passo 5
Com média
e variância
,
segue uma distribuição normal
. Agora, queremos calcular a probabilidade de
, ou seja,
.
Passo 6
Para calcular essas probabilidades, vamos padronizar
transformando-a na variável
da distribuição normal padrão
:
Queremos encontrar:
Usando tabelas da distribuição normal padrão ou uma calculadora, encontramos:
Resposta
A probabilidade
é aproximadamente
ou 41,72%.
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,
e
. Usando o conceito de independência de variáveis aleatórias e suas propriedades: Determine a função de probabilidade da variável aleatória
, que representa a diferença entre o número de caras e o número de coroas obtidos ao lançar as três moedas viciadas.
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. Determinar a probabilidade de que um monitor desse lote, selecionado aleatoriamente, acuse um tempo de durabilidade Inferior a 7 anos
Seja
tal que
e
. Determinar
e
.
Sejam
e
v.a independentes. Calcular
.