Sejam e v.a independentes. Se . Calcular .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício onde temos quatro variáveis aleatórias e que seguem distribuições normais diferentes e são independentes. A gente precisa calcular a probabilidade de que o valor absoluto de seja maior que 3, ou seja, . Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuições normais e combinações lineares de variáveis aleatórias.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como está definido:
Aqui, é uma combinação linear das variáveis e . Como todas elas são normais e independentes, uma combinação linear delas também seguirá uma distribuição normal. Então, precisamos encontrar a média e a variância de .

Passo 3

Vamos calcular a média de . A média de uma combinação linear de variáveis é a combinação linear das médias:
Sabendo que:
Substituindo:
Então, a média de é 2.

Passo 4

Agora, vamos calcular a variância de . Como as variáveis são independentes, a variância de uma combinação linear é a soma das variâncias de cada termo multiplicado pelo quadrado de seus coeficientes:
Sabendo que:
Substituindo:
Então, a variância de é 9.

Passo 5

Com média e variância , segue uma distribuição normal . Agora, queremos calcular a probabilidade de , ou seja, .

Passo 6

Para calcular essas probabilidades, vamos padronizar transformando-a na variável da distribuição normal padrão :
Queremos encontrar:
Usando tabelas da distribuição normal padrão ou uma calculadora, encontramos:

Resposta

A probabilidade é aproximadamente ou 41,72%.

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Seja tal que e . Determinar e .
Sejam e v.a independentes. Calcular .