Sejam X1 sim N(2,4), X2 sim N(5,6), X3 sim N(4,6) e X4 sim N(6,5) v.a independentes. Se Y=(X1+2 X24-X3+X42). Calcular P(|Y|>3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício onde temos quatro variáveis aleatórias e que seguem distribuições normais diferentes e são independentes. A gente precisa calcular a probabilidade de que o valor absoluto de seja maior que 3, ou seja, . Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuições normais e combinações lineares de variáveis aleatórias.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como Y = (X1 + 2X24 - X3 + X42) está definido:
Aqui, é uma combinação linear das variáveis e . Como todas elas são normais e independentes, uma combinação linear delas também seguirá uma distribuição normal. Então, precisamos encontrar a média e a variância de .

Passo 3

Vamos calcular a média de E(Y) = E(X1) + 2E(X2)4 - E(X3) + E(X4)2 . A média de uma combinação linear de variáveis é a combinação linear das médias:
E(X1) = 2, E(X2) = 5, E(X3) = 4, E(X4) = 6
Sabendo que:
E(Y) = 2 + 2 times 54 - 4 + 62 = 2 + 104 - 4 + 3 = 124 - 4 + 3 = 3 - 4 + 3 = 2
Substituindo:
Então, a média de é 2.

Passo 4

Agora, vamos calcular a variância de Var(Y) = (14)^2 Var(X1) + (24)^2 Var(X2) + Var(X3) + (12)^2 Var(X4) . Como as variáveis são independentes, a variância de uma combinação linear é a soma das variâncias de cada termo multiplicado pelo quadrado de seus coeficientes:
Var(X1) = 4, Var(X2) = 6, Var(X3) = 6, Var(X4) = 5
Sabendo que:
Var(Y) = (14)^2 times 4 + (24)^2 times 6 + 6 + (12)^2 times 5 = 116 times 4 + 416 times 6 + 6 + 14 times 5 = 416 + 2416 + 6 + 54 = 2816 + 6 + 1,25 = 1,75 + 6 + 1,25 = 9
Substituindo:
Então, a variância de é 9.

Passo 5

Com média e variância , segue uma distribuição normal . Agora, queremos calcular a probabilidade de , ou seja, .

Passo 6

Para calcular essas probabilidades, vamos padronizar Z = Y - muYsigmaY = Y - 23 transformando-a na variável P(Y > 3) = P(Z > 3 - 23) = P(Z > 13) P(Y < -3) = P(Z < -3 - 23) = P(Z < -53) da distribuição normal padrão P(Z > 13) approx 0,3694 P(Z < -53) approx 0,0478 :
Queremos encontrar:
Usando tabelas da distribuição normal padrão ou uma calculadora, encontramos:

Resposta

A probabilidade é aproximadamente ou 41,72%.

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