Três moedas viciadas são lançadas de forma independente. As probabilidades de obter cara em cada moeda são, respectivamente, 13, 19 e 127. Usando o conceito de independência de variáveis aleatórias e suas propriedades: Calcule a esperança E(X), a variância V(X) e o desvio padrão sigmaX da variável aleatória X.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos três moedas viciadas lançadas independentemente, com probabilidades de dar cara de 13, 19 e 127 para cada uma delas, respectivamente. Queremos calcular três coisas sobre a variável aleatória X: a esperança E(X), a variância V(X) e o desvio padrão sigmaX. Para isso, vamos usar conceitos básicos de probabilidade relacionados a variáveis aleatórias independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o que é a variável aleatória X. Neste caso, X representa o número de caras que aparecem quando lançamos as três moedas. Como as moedas são lançadas de forma independente, podemos considerar cada lançamento como uma variável aleatória separada. Vamos chamar essas variáveis de Z1, Z2 e Z3, correspondentes às três moedas.

Passo 3

Cada Zi é uma variável aleatória de Bernoulli, que assume o valor 1 se a moeda der cara e 0 se der coroa. A probabilidade de sucesso (dar cara) para cada uma delas é dada:
  • Para a primeira moeda: P(Z1=1) = 13
  • Para a segunda moeda: P(Z2=1) = 19
  • Para a terceira moeda: P(Z3=1) = 127

Passo 4

A esperança de uma variável de Bernoulli Zi é igual à probabilidade de sucesso pi. Portanto, a esperança de X, que é a soma dessas variáveis, será a soma das esperanças individuais:
E(X) = E(Z1) + E(Z2) + E(Z3) = p1 + p2 + p3
Onde p1 = 13, p2 = 19 e p3 = 127.

Passo 5

Vamos calcular E(X) substituindo os valores das probabilidades:
E(X) = 13 + 19 + 127
Para somar essas frações, vamos encontrar um denominador comum, que é 27:
E(X) = 927 + 327 + 127 = 1327

Passo 6

Agora, vamos calcular a variância V(X). Para variáveis aleatórias independentes, a variância da soma é igual à soma das variâncias individuais. A variância de uma variável de Bernoulli Zi é dada por:
V(Zi) = pi (1 - pi)
Portanto,
V(X) = V(Z1) + V(Z2) + V(Z3) = p1(1 - p1) + p2(1 - p2) + p3(1 - p3)

Passo 7

Vamos substituir os valores das probabilidades na fórmula da variância:
V(X) = 13(1 - 13) + 19(1 - 19) + 127(1 - 127)
Calculando cada termo:
V(X) = 13 cdot 23 + 19 cdot 89 + 127 cdot 2627 = 29 + 881 + 26729
Convertendo todas as frações para o denominador 729:
V(X) = 162729 + 72729 + 26729 = 260729

Passo 8

Por fim, vamos calcular o desvio padrão sigmaX, que é a raiz quadrada da variância:
sigmaX = raizV(X) = raiz260729
Podemos simplificar a raiz:
sigmaX = raiz26027 approx 16.124527 approx 0.597

Resposta

A esperança de X é E(X) = 1327, a variância é V(X) = 260729 e o desvio padrão é aproximadamente sigmaX approx 0,597.

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