Três moedas viciadas são lançadas de forma independente. As probabilidades de obter cara em cada moeda são, respectivamente,
,
e
. Usando o conceito de independência de variáveis aleatórias e suas propriedades: Calcule a esperança
, a variância
e o desvio padrão
da variável aleatória
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos três moedas viciadas lançadas independentemente, com probabilidades de dar cara de
,
e
para cada uma delas, respectivamente. Queremos calcular três coisas sobre a variável aleatória
: a esperança
, a variância
e o desvio padrão
. Para isso, vamos usar conceitos básicos de probabilidade relacionados a variáveis aleatórias independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o que é a variável aleatória
. Neste caso,
representa o número de caras que aparecem quando lançamos as três moedas. Como as moedas são lançadas de forma independente, podemos considerar cada lançamento como uma variável aleatória separada. Vamos chamar essas variáveis de
,
e
, correspondentes às três moedas.
Passo 3
Cada
é uma variável aleatória de Bernoulli, que assume o valor 1 se a moeda der cara e 0 se der coroa. A probabilidade de sucesso (dar cara) para cada uma delas é dada:
- Para a primeira moeda:
- Para a segunda moeda:
- Para a terceira moeda:
Passo 4
A esperança de uma variável de Bernoulli
é igual à probabilidade de sucesso
. Portanto, a esperança de
, que é a soma dessas variáveis, será a soma das esperanças individuais:
Onde
,
e
.
Passo 5
Vamos calcular
substituindo os valores das probabilidades:
Para somar essas frações, vamos encontrar um denominador comum, que é 27:
Passo 6
Agora, vamos calcular a variância
. Para variáveis aleatórias independentes, a variância da soma é igual à soma das variâncias individuais. A variância de uma variável de Bernoulli
é dada por:
Portanto,
Passo 7
Vamos substituir os valores das probabilidades na fórmula da variância:
Calculando cada termo:
Convertendo todas as frações para o denominador 729:
Passo 8
Por fim, vamos calcular o desvio padrão
, que é a raiz quadrada da variância:
Podemos simplificar a raiz:
Resposta
A esperança de
é
, a variância é
e o desvio padrão é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Sejam
e
v.a independentes. Calcular
.
Seja
tal que
e
. Determinar
e
.
As taxas médias geométricas de incremento anual (por 100 habitantes) dos 30 maiores municípios do Brasil estão dadas abaixo.
3,67 | 1,82 | 3,73 | 4,10 | 4,30 |
---|---|---|---|---|
1,28 | 8,14 | 2,43 | 4,17 | 5,36 |
3,96 | 6,54 | 5,84 | 7,35 | 3,63 |
2,93 | 2,82 | 8,45 | 5,28 | 5,41 |
7,77 | 4,65 | 1,88 | 2,12 | 4,26 |
(b) Construa um gráfico de dispersão unidimensional.
Os dados abaixo representam as vendas semanais, em classes de salários mínimos, de vendedores de gêneros alimentícios:
Vendas semanais | No de vendedores |
---|---|
|
2 |
|
10 |
|
18 |
|
50 |
|
70 |
|
30 |
|
18 |
|
2 |
(b) Calcule a média da amostra,
.