Seja X sim N(mu, sigma^2) tal que P[X<45]=0,31 e P[X>64]=0,08. Determinar mu e sigma.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos uma variável aleatória que segue uma distribuição normal com média e variância . Nos dizem que:
Nosso objetivo é encontrar os valores de e . Para isso, vamos utilizar as propriedades da distribuição normal e transformar esses valores em termos da distribuição normal padrão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se Z = X - musigma , podemos padronizar usando a fórmula:
onde segue uma distribuição normal padrão, . Isso nos permite usar tabelas de distribuição normal padrão ou funções de distribuição acumulada.

Passo 3

Vamos aplicar a padronização para as duas probabilidades dadas.
Para P( Z < 45 - musigma ) = 0,31 :
P( Z > 64 - musigma ) = 0,08
E para :

Passo 4

Agora, precisamos encontrar os valores de que correspondem a essas probabilidades usando a tabela da distribuição normal padrão.
Para :
Consultando a tabela, encontramos que .
Para :
Isso significa que . Consultando a tabela, temos .

Passo 5

Com os valores de 45 - musigma = -0,50 e 64 - musigma = 1,41 , podemos montar o seguinte sistema de equações:
Agora, temos duas equações com duas incógnitas ( e ) que podemos resolver simultaneamente.

Passo 6

Vamos resolver o sistema:
Primeira equação:
45 - mu = -0,50 sigma Rightarrow mu = 45 + 0,50 sigma (1)
Segunda equação:
64 - mu = 1,41 sigma Rightarrow mu = 64 - 1,41 sigma (2)
Igualando as duas expressões para 45 + 0,50 sigma = 64 - 1,41 sigma :

Passo 7

Vamos resolver para 0,50 sigma + 1,41 sigma = 64 - 45 :
1,91 sigma = 19
sigma = 191,91 approx 9,95

Passo 8

Agora que temos mu = 45 + 0,50 times 9,95 approx 45 + 4,975 = 49,975 , substituímos na equação (1) para encontrar :

Resposta

Os valores encontrados são:
mu approx 49,98 e sigma approx 9,95

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