Seja tal que e . Determinar e .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos uma variável aleatória que segue uma distribuição normal com média e variância . Nos dizem que:
Nosso objetivo é encontrar os valores de e . Para isso, vamos utilizar as propriedades da distribuição normal e transformar esses valores em termos da distribuição normal padrão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se , podemos padronizar usando a fórmula:
onde segue uma distribuição normal padrão, . Isso nos permite usar tabelas de distribuição normal padrão ou funções de distribuição acumulada.

Passo 3

Vamos aplicar a padronização para as duas probabilidades dadas.
Para :
E para :

Passo 4

Agora, precisamos encontrar os valores de que correspondem a essas probabilidades usando a tabela da distribuição normal padrão.
Para :
Consultando a tabela, encontramos que .
Para :
Isso significa que . Consultando a tabela, temos .

Passo 5

Com os valores de e , podemos montar o seguinte sistema de equações:
Agora, temos duas equações com duas incógnitas ( e ) que podemos resolver simultaneamente.

Passo 6

Vamos resolver o sistema:
Primeira equação:
Segunda equação:
Igualando as duas expressões para :

Passo 7

Vamos resolver para :

Passo 8

Agora que temos , substituímos na equação (1) para encontrar :

Resposta

Os valores encontrados são:

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Sejam e v.a independentes. Se . Calcular .
Três moedas viciadas são lançadas de forma independente. As probabilidades de obter cara em cada moeda são, respectivamente, , e . Usando o conceito de independência de variáveis aleatórias e suas propriedades: Determine a função de probabilidade da variável aleatória , que representa a diferença entre o número de caras e o número de coroas obtidos ao lançar as três moedas viciadas.
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Três moedas viciadas são lançadas de forma independente. As probabilidades de obter cara em cada moeda são, respectivamente, , e . Usando o conceito de independência de variáveis aleatórias e suas propriedades: Calcule a esperança , a variância e o desvio padrão da variável aleatória .