Sejam
e
.
Calcule a área do triângulo determinado pelos vetores
.
Calcule a área do triângulo determinado pelos vetores
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores no espaço:
e
. A tarefa é calcular a área do triângulo formado pelos vetores
e
. Para isso, vamos usar noções de álgebra vetorial, especificamente o produto vetorial (ou cruz) e a fórmula da área do triângulo usando esse produto. Vamos precisar entender como multiplicar vetores dessa maneira e calcular a magnitude do resultado.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular os vetores
e
. Multiplicar um vetor por um escalar (nesse caso, 2 ou -1) significa multiplicar cada componente do vetor por esse número.
Então:
Agora temos os dois vetores que formam o triângulo:
e
.
Passo 3
A área do triângulo formado por dois vetores pode ser encontrada usando a fórmula:
Onde
é o produto vetorial dos vetores
e
, e
representa a magnitude (ou comprimento) do vetor resultante.
Vamos calcular o produto vetorial dos vetores
e
.
Passo 4
O produto vetorial de dois vetores
e
é dado por:
Aplicando isso aos nossos vetores:
Então:
Passo 5
Agora que temos o vetor resultante do produto vetorial, vamos calcular a sua magnitude. A magnitude de um vetor
é dada por:
Aplicando isso ao vetor
:
Passo 6
Finalmente, usamos a fórmula da área do triângulo:
Resposta
A área do triângulo determinado pelos vetores
e
é
unidades quadradas.
Exercícios relacionados
Use indução para demonstrar os seguintes fatos:
, e
.
Seja
função sucessor que satisfaz:
P1) é injetiva.
P2) .
Prove que: Se tal que
e
. Então para todo subconjunto não-vazio
, tem-se
.
Sugestão: Suponha ao contrário e verifique que: e
para assim concluir
.
P1)
P2)
Prove que: Se
Sugestão: Suponha ao contrário e verifique que:
Dados os vetores
e
Calcule
Calcule
Verifique se o conjunto
gera o espaço vetorial
.