Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificarmos se o conjunto , onde:
gera todo o espaço vetorial . Isso está relacionado ao conteúdo de espaços vetoriais e bases, especificamente sobre gerar ou span de um conjunto de vetores. Vamos precisar verificar se esses três vetores conseguem combinar-se de forma a alcançar qualquer vetor em .
Passo 2
Primeiro, para ver se os vetores de geram , vamos organizar esses vetores em uma matriz, onde cada vetor é uma coluna da matriz:
Agora, precisamos determinar o posto dessa matriz. O posto de uma matriz é o número máximo de colunas linearmente independentes, e ele nos diz quantas dimensões do espaço são realmente alcançadas pelos vetores. Se o posto for igual a 4, significa que os vetores de geram . Para encontrar o posto, vamos realizar operações elementares de linha na matriz para simplificá-la e ver quantas linhas não nulas teremos.
Passo 3
Vamos começar a simplificar a matriz A = 1 & 0 & 2 -1 & 1 & 1 0 & 2 & 0 1 & -1 & -1 :
Operação 4: Adicionamos a segunda linha à quarta linha para eliminar o -1 na posição (4,2):
Agora, a matriz está na forma escalonada, e podemos contar as linhas não nulas para determinar o posto.
Passo 4
Contando as linhas que têm pelo menos um elemento diferente de zero:
Primeira linha: → não zero
Segunda linha: → não zero
Terceira linha: → não zero
Quarta linha: → toda zero
Então, temos 3 linhas não nulas. Isso significa que o posto da matriz é 3.
Passo 5
Como o posto da matriz é 3, isso indica que os três vetores de são linearmente independentes e geram um subespaço de dimensão 3 em . Para que um conjunto de vetores gere todo o espaço , precisaríamos de 4 vetores linearmente independentes. Aqui, temos apenas 3, portanto, não é possível gerar com apenas esses três vetores.
Resposta
O conjunto não gera o espaço vetorial , pois os vetores de apenas geram um subespaço de dimensão 3 em .