Verifique se o conjunto X=v1=(1,-1,0,1), v2=(0,1,2,-1), v3= (2,1,0,-1) gera o espaço vetorial R^4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificarmos se o conjunto v1 = (1, -1, 0, 1), v2 = (0, 1, 2, -1), v3 = (2, 1, 0, -1) , onde:
gera todo o espaço vetorial . Isso está relacionado ao conteúdo de espaços vetoriais e bases, especificamente sobre gerar ou span de um conjunto de vetores. Vamos precisar verificar se esses três vetores conseguem combinar-se de forma a alcançar qualquer vetor em .

Passo 2

Primeiro, para ver se os vetores de A = 1 & 0 & 2 -1 & 1 & 1 0 & 2 & 0 1 & -1 & -1 geram , vamos organizar esses vetores em uma matriz, onde cada vetor é uma coluna da matriz:
Agora, precisamos determinar o posto dessa matriz. O posto de uma matriz é o número máximo de colunas linearmente independentes, e ele nos diz quantas dimensões do espaço são realmente alcançadas pelos vetores. Se o posto for igual a 4, significa que os vetores de geram . Para encontrar o posto, vamos realizar operações elementares de linha na matriz para simplificá-la e ver quantas linhas não nulas teremos.

Passo 3

Vamos começar a simplificar a matriz A = 1 & 0 & 2 -1 & 1 & 1 0 & 2 & 0 1 & -1 & -1 :
R2 = R2 + R1 Rightarrow 1 & 0 & 2 0 & 1 & 3 0 & 2 & 0 1 & -1 & -1
Operação 1: Vamos adicionar a primeira linha à segunda linha para eliminar o -1 na posição (2,1):
R4 = R4 - R1 Rightarrow 1 & 0 & 2 0 & 1 & 3 0 & 2 & 0 0 & -1 & -3
Operação 2: Subtraímos a primeira linha da quarta linha para eliminar o 1 na posição (4,1):
R3 = R3 - 2R2 Rightarrow 1 & 0 & 2 0 & 1 & 3 0 & 0 & -6 0 & -1 & -3
Operação 3: Subtraímos 2 vezes a segunda linha da terceira linha para eliminar o 2 na posição (3,2):
R4 = R4 + R2 Rightarrow 1 & 0 & 2 0 & 1 & 3 0 & 0 & -6 0 & 0 & 0
Operação 4: Adicionamos a segunda linha à quarta linha para eliminar o -1 na posição (4,2):
Agora, a matriz está na forma escalonada, e podemos contar as linhas não nulas para determinar o posto.

Passo 4

Contando as linhas que têm pelo menos um elemento diferente de zero:
  • Primeira linha: → não zero
  • Segunda linha: → não zero
  • Terceira linha: → não zero
  • Quarta linha: → toda zero
Então, temos 3 linhas não nulas. Isso significa que o posto da matriz é 3.

Passo 5

Como o posto da matriz é 3, isso indica que os três vetores de são linearmente independentes e geram um subespaço de dimensão 3 em . Para que um conjunto de vetores gere todo o espaço , precisaríamos de 4 vetores linearmente independentes. Aqui, temos apenas 3, portanto, não é possível gerar com apenas esses três vetores.

Resposta

O conjunto não gera o espaço vetorial , pois os vetores de apenas geram um subespaço de dimensão 3 em .

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Calcule u cdot u|v|^2
Considere as equações apresentadas na coluna da esquerda e os nomes das superfícies descritas na coluna da direita. Relacione a coluna da direita com a coluna da esquerda.

unesp

-x^24+z^29=y
( ) Elipsoide
( ) Hiperboloide de uma folha
( ) Hiperboloide de duas folhas
( ) Esfera
( ) Paraboloide elíptico
( ) Paraboloide hiperbólico