Sejam
e
vetores em
. Prove que um deles é múltiplo do outro se, e somente se,
para quaisquer
.
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: temos dois vetores
e
em
. O objetivo é provar que um desses vetores é múltiplo do outro se, e somente se, para quaisquer índices
e
, a relação
é verdadeira. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear, especialmente sobre vetores múltiplos e propriedades de igualdade entre componentes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um vetor ser múltiplo do outro. Dizemos que
é múltiplo de
se existir um escalar
tal que
. Ou seja, cada componente de
é igual a
vezes o correspondente de
:
Passo 3
Agora, vamos abordar a condição
para quaisquer
e
. Se
é múltiplo de
, então substituindo
na equação temos:
Como
é comum nos dois lados, a igualdade se mantém:
O que é sempre verdadeiro, confirmando a condição necessária.
Passo 4
Para o sentido contrário, suponha que
para quaisquer
e
. Vamos mostrar que existe um escalar
tal que
. Escolhemos
(assumindo
). Então, para todo
,
Usando a condição
, podemos verificar que essa relação se mantém para todos os componentes, garantindo que
é múltiplo de
.
Resposta
Portanto, provamos que um vetor é múltiplo do outro se, e somente se,
para quaisquer
.
Exercícios relacionados
Verifique se o subconjunto
é um subespaço do espaço vetorial
:
(h)
(h)
Assinale a alternativa que descreve o uso de modos de citação de discurso alheio na construção do texto.
a) O texto reproduz a palestra de Manuel da Costa Pinto por meio de citação direta, não interferindo assim no conteúdo do que foi apresentado pelo crítico literário.
b) O texto transcreve trechos da referida palestra e adiciona a eles informações extratextuais como as referências às obras literárias e comentário do(a) resenhista.
c) O texto sintetiza o conteúdo de uma palestra, mesclando discursos direto e indireto para apresentar o caminho argumentativo desenvolvido pelo palestrante.
d) O texto articula citações diretas e paráfrases da palestra a comentários do(a) autor(a) da resenha; estes funcionam como costura crítica à fala do palestrante.
a) O texto reproduz a palestra de Manuel da Costa Pinto por meio de citação direta, não interferindo assim no conteúdo do que foi apresentado pelo crítico literário.
b) O texto transcreve trechos da referida palestra e adiciona a eles informações extratextuais como as referências às obras literárias e comentário do(a) resenhista.
c) O texto sintetiza o conteúdo de uma palestra, mesclando discursos direto e indireto para apresentar o caminho argumentativo desenvolvido pelo palestrante.
d) O texto articula citações diretas e paráfrases da palestra a comentários do(a) autor(a) da resenha; estes funcionam como costura crítica à fala do palestrante.
Assinale a alternativa que explica a relação que o autor constrói entre o surubim e o modelo de Turing
a) A variedade de manchas nas espécies do surubim resulta da aplicação do modelo informático de Turing.
b) Os padrões de manchas do surubim fornecem evidência empírica para a suposição de Turing e o seu modelo matemático.
c) O modelo de Turing foi desenvolvido com o objetivo de calcular as padronagens complexas das espécies do surubim.
d) Os desenhos dos surubins, com seus padrões incomuns, permitiram a formulação da hipótese e do modelo de Turing.
a) A variedade de manchas nas espécies do surubim resulta da aplicação do modelo informático de Turing.
b) Os padrões de manchas do surubim fornecem evidência empírica para a suposição de Turing e o seu modelo matemático.
c) O modelo de Turing foi desenvolvido com o objetivo de calcular as padronagens complexas das espécies do surubim.
d) Os desenhos dos surubins, com seus padrões incomuns, permitiram a formulação da hipótese e do modelo de Turing.
Sejam
um conjunto qualquer e
um espaço vetorial. Mostre que, com as definições naturais, o conjunto
; E
das funções
se torna um espaço vetorial. Identifique os casos particulares em que
, onde
e
.