Sejam
e
vetores em
. Prove que um deles é múltiplo do outro se, e somente se,
para quaisquer
.
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: temos dois vetores
e
em
. O objetivo é provar que um desses vetores é múltiplo do outro se, e somente se, para quaisquer índices
e
, a relação
é verdadeira. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear, especialmente sobre vetores múltiplos e propriedades de igualdade entre componentes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um vetor ser múltiplo do outro. Dizemos que
é múltiplo de
se existir um escalar
tal que
. Ou seja, cada componente de
é igual a
vezes o correspondente de
:
Passo 3
Agora, vamos abordar a condição
para quaisquer
e
. Se
é múltiplo de
, então substituindo
na equação temos:
Como
é comum nos dois lados, a igualdade se mantém:
O que é sempre verdadeiro, confirmando a condição necessária.
Passo 4
Para o sentido contrário, suponha que
para quaisquer
e
. Vamos mostrar que existe um escalar
tal que
. Escolhemos
(assumindo
). Então, para todo
,
Usando a condição
, podemos verificar que essa relação se mantém para todos os componentes, garantindo que
é múltiplo de
.
Resposta
Portanto, provamos que um vetor é múltiplo do outro se, e somente se,
para quaisquer
.