Sejam e vetores em . Prove que um deles é múltiplo do outro se, e somente se, para quaisquer .

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: temos dois vetores e em . O objetivo é provar que um desses vetores é múltiplo do outro se, e somente se, para quaisquer índices e , a relação é verdadeira. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear, especialmente sobre vetores múltiplos e propriedades de igualdade entre componentes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um vetor ser múltiplo do outro. Dizemos que é múltiplo de se existir um escalar tal que . Ou seja, cada componente de é igual a vezes o correspondente de :

Passo 3

Agora, vamos abordar a condição para quaisquer e . Se é múltiplo de , então substituindo na equação temos:
Como é comum nos dois lados, a igualdade se mantém:
O que é sempre verdadeiro, confirmando a condição necessária.

Passo 4

Para o sentido contrário, suponha que para quaisquer e . Vamos mostrar que existe um escalar tal que . Escolhemos (assumindo ). Então, para todo ,
Usando a condição , podemos verificar que essa relação se mantém para todos os componentes, garantindo que é múltiplo de .

Resposta

Portanto, provamos que um vetor é múltiplo do outro se, e somente se, para quaisquer .

Exercícios relacionados

Verifique se o subconjunto é um subespaço do espaço vetorial :
(h)
Assinale a alternativa que descreve o uso de modos de citação de discurso alheio na construção do texto.
a) O texto reproduz a palestra de Manuel da Costa Pinto por meio de citação direta, não interferindo assim no conteúdo do que foi apresentado pelo crítico literário.
b) O texto transcreve trechos da referida palestra e adiciona a eles informações extratextuais como as referências às obras literárias e comentário do(a) resenhista.
c) O texto sintetiza o conteúdo de uma palestra, mesclando discursos direto e indireto para apresentar o caminho argumentativo desenvolvido pelo palestrante.
d) O texto articula citações diretas e paráfrases da palestra a comentários do(a) autor(a) da resenha; estes funcionam como costura crítica à fala do palestrante.
Assinale a alternativa que explica a relação que o autor constrói entre o surubim e o modelo de Turing
a) A variedade de manchas nas espécies do surubim resulta da aplicação do modelo informático de Turing.
b) Os padrões de manchas do surubim fornecem evidência empírica para a suposição de Turing e o seu modelo matemático.
c) O modelo de Turing foi desenvolvido com o objetivo de calcular as padronagens complexas das espécies do surubim.
d) Os desenhos dos surubins, com seus padrões incomuns, permitiram a formulação da hipótese e do modelo de Turing.
Sejam um conjunto qualquer e um espaço vetorial. Mostre que, com as definições naturais, o conjunto ; E das funções se torna um espaço vetorial. Identifique os casos particulares em que , onde e .