Sejam u=(x1, ldots, xn) e v=(y1, ldots, yn) vetores em R^n. Prove que um deles é múltiplo do outro se, e somente se, xi yj=xj yi para quaisquer i, j=1, ldots, n.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: temos dois vetores e em . O objetivo é provar que um desses vetores é múltiplo do outro se, e somente se, para quaisquer índices e , a relação é verdadeira. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear, especialmente sobre vetores múltiplos e propriedades de igualdade entre componentes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um vetor ser múltiplo do outro. Dizemos que xk = lambda yk para todo k = 1, ldots, n é múltiplo de se existir um escalar tal que . Ou seja, cada componente de é igual a vezes o correspondente de :

Passo 3

Agora, vamos abordar a condição (lambda yi) yj = (lambda yj) yi implies lambda yi yj = lambda yj yi para quaisquer yi yj = yj yi e . Se é múltiplo de , então substituindo na equação temos:
Como é comum nos dois lados, a igualdade se mantém:
O que é sempre verdadeiro, confirmando a condição necessária.

Passo 4

Para o sentido contrário, suponha que xk = lambda yk = x1y1 yk para quaisquer e . Vamos mostrar que existe um escalar tal que . Escolhemos (assumindo ). Então, para todo ,
Usando a condição , podemos verificar que essa relação se mantém para todos os componentes, garantindo que é múltiplo de .

Resposta

Portanto, provamos que um vetor é múltiplo do outro se, e somente se, para quaisquer .

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