Sejam um conjunto qualquer e um espaço vetorial. Mostre que, com as definições naturais, o conjunto ; E das funções se torna um espaço vetorial. Identifique os casos particulares em que , onde e .

Passo 1

Então, a gente vai resolver um exercício de Álgebra Linear hoje! O enunciado pede para mostrar que o conjunto de todas as funções de um conjunto qualquer para um espaço vetorial , denotado por , forma também um espaço vetorial. Além disso, precisamos identificar casos específicos quando é um conjunto finito, o conjunto dos números naturais, ou o produto de dois conjuntos finitos. Para isso, vamos precisar entender o que é um espaço vetorial e como as operações de soma e multiplicação por escalar funcionam nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre um campo é um conjunto com duas operações: soma de vetores e multiplicação por escalar, que satisfazem certas propriedades, como associatividade, comutatividade da soma, existência de um elemento neutro, etc. Neste caso, nosso conjunto será o conjunto de todas as funções de para .

Passo 3

Agora, vamos definir as operações de soma e multiplicação por escalar em . Para duas funções , a soma é definida por:
E para um escalar , a multiplicação por escalar é definida por:
Essas definições são “naturais” porque aplicam as operações de ponto a ponto nas funções.

Passo 4

Vamos agora verificar se com essas operações satisfaz as propriedades de um espaço vetorial:
  1. Fechamento sob a soma: Para quaisquer , também é uma função de para porque a soma de elementos de está em .
  2. Fechamento sob multiplicação por escalar: Para qualquer e , também mapeia para .
  3. Associatividade da soma: para quaisquer .
  4. Comutatividade da soma: .
  5. Elemento neutro: A função zero, definida por para todo , age como elemento neutro.
  6. Elemento inverso: Para cada , a função , onde , é o inverso de .
  7. Distributividade: e .
  8. Associatividade da multiplicação por escalar: .
  9. Identidade multiplicativa: .
Todas essas propriedades são satisfeitas porque é um espaço vetorial e estamos aplicando as operações ponto a ponto.

Passo 5

Agora que mostramos que satisfaz todas as propriedades de um espaço vetorial, concluímos que com as definições naturais de soma e multiplicação por escalar, é de fato um espaço vetorial.

Passo 6

Vamos identificar os casos particulares mencionados:
  1. Quando :
    • Nesse caso, uma função pode ser vista como um vetor com componentes em . Portanto, é isomorfo a , que é um espaço vetorial de dimensão sobre .
  2. Quando :
    • Aqui, as funções correspondem a sequências infinitas de elementos de . Assim, é um espaço vetorial que pode ser pensado como um espaço de sequências, onde cada posição na sequência funciona como uma “coordenação” no espaço vetorial.
  3. Quando , onde e :
    • Nesse caso, é o produto cartesiano de dois conjuntos finitos, e uma função pode ser vista como uma matriz de dimensões com entradas em . Portanto, é isomorfo ao espaço de matrizes , que também é um espaço vetorial.

Resposta

Com as definições naturais de soma e multiplicação por escalar, o conjunto das funções de para forma um espaço vetorial. Nos casos específicos:
  • Se , então é isomorfo a .
  • Se , corresponde a sequências infinitas em .
  • Se , com e , então é equivalente ao espaço de matrizes .

Exercícios relacionados

Assinale a alternativa que explica a relação que o autor constrói entre o surubim e o modelo de Turing
a) A variedade de manchas nas espécies do surubim resulta da aplicação do modelo informático de Turing.
b) Os padrões de manchas do surubim fornecem evidência empírica para a suposição de Turing e o seu modelo matemático.
c) O modelo de Turing foi desenvolvido com o objetivo de calcular as padronagens complexas das espécies do surubim.
d) Os desenhos dos surubins, com seus padrões incomuns, permitiram a formulação da hipótese e do modelo de Turing.
Sejam e vetores em . Prove que um deles é múltiplo do outro se, e somente se, para quaisquer .
Sejam e . Ache números , , todos não-nulos, tais que , .
Sejam os seguintes vetores do , e , com . O conjunto é uma base do desde que c seja diferente de:
a) -2
b) -1
c) 0
d) 2