Sejam
um conjunto qualquer e
um espaço vetorial. Mostre que, com as definições naturais, o conjunto
; E
das funções
se torna um espaço vetorial. Identifique os casos particulares em que
, onde
e
.
Passo 1
Então, a gente vai resolver um exercício de Álgebra Linear hoje! O enunciado pede para mostrar que o conjunto de todas as funções de um conjunto qualquer
para um espaço vetorial
, denotado por
, forma também um espaço vetorial. Além disso, precisamos identificar casos específicos quando
é um conjunto finito, o conjunto dos números naturais, ou o produto de dois conjuntos finitos. Para isso, vamos precisar entender o que é um espaço vetorial e como as operações de soma e multiplicação por escalar funcionam nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre um campo
é um conjunto com duas operações: soma de vetores e multiplicação por escalar, que satisfazem certas propriedades, como associatividade, comutatividade da soma, existência de um elemento neutro, etc. Neste caso, nosso conjunto
será o conjunto de todas as funções de
para
.
Passo 3
Agora, vamos definir as operações de soma e multiplicação por escalar em
. Para duas funções
, a soma
é definida por:
E para um escalar
, a multiplicação por escalar
é definida por:
Essas definições são “naturais” porque aplicam as operações de
ponto a ponto nas funções.
Passo 4
Vamos agora verificar se
com essas operações satisfaz as propriedades de um espaço vetorial:
- Fechamento sob a soma: Para quaisquer
, também é uma função de para porque a soma de elementos de está em . - Fechamento sob multiplicação por escalar: Para qualquer
e , também mapeia para . - Associatividade da soma:
para quaisquer . - Comutatividade da soma:
. - Elemento neutro: A função zero, definida por
para todo , age como elemento neutro. - Elemento inverso: Para cada
, a função , onde , é o inverso de . - Distributividade:
e . - Associatividade da multiplicação por escalar:
. - Identidade multiplicativa:
.
Todas essas propriedades são satisfeitas porque
é um espaço vetorial e estamos aplicando as operações ponto a ponto.
Passo 5
Agora que mostramos que
satisfaz todas as propriedades de um espaço vetorial, concluímos que com as definições naturais de soma e multiplicação por escalar,
é de fato um espaço vetorial.
Passo 6
Vamos identificar os casos particulares mencionados:
-
Quando
: - Nesse caso, uma função
pode ser vista como um vetor com componentes em . Portanto, é isomorfo a , que é um espaço vetorial de dimensão sobre .
- Nesse caso, uma função
-
Quando
: - Aqui, as funções
correspondem a sequências infinitas de elementos de . Assim, é um espaço vetorial que pode ser pensado como um espaço de sequências, onde cada posição na sequência funciona como uma “coordenação” no espaço vetorial.
- Aqui, as funções
-
Quando
, onde e : - Nesse caso,
é o produto cartesiano de dois conjuntos finitos, e uma função pode ser vista como uma matriz de dimensões com entradas em . Portanto, é isomorfo ao espaço de matrizes , que também é um espaço vetorial.
- Nesse caso,
Resposta
Com as definições naturais de soma e multiplicação por escalar, o conjunto
das funções de
para
forma um espaço vetorial. Nos casos específicos:
- Se
, então é isomorfo a . - Se
, corresponde a sequências infinitas em . - Se
, com e , então é equivalente ao espaço de matrizes .
Exercícios relacionados
Assinale a alternativa que explica a relação que o autor constrói entre o surubim e o modelo de Turing
a) A variedade de manchas nas espécies do surubim resulta da aplicação do modelo informático de Turing.
b) Os padrões de manchas do surubim fornecem evidência empírica para a suposição de Turing e o seu modelo matemático.
c) O modelo de Turing foi desenvolvido com o objetivo de calcular as padronagens complexas das espécies do surubim.
d) Os desenhos dos surubins, com seus padrões incomuns, permitiram a formulação da hipótese e do modelo de Turing.
a) A variedade de manchas nas espécies do surubim resulta da aplicação do modelo informático de Turing.
b) Os padrões de manchas do surubim fornecem evidência empírica para a suposição de Turing e o seu modelo matemático.
c) O modelo de Turing foi desenvolvido com o objetivo de calcular as padronagens complexas das espécies do surubim.
d) Os desenhos dos surubins, com seus padrões incomuns, permitiram a formulação da hipótese e do modelo de Turing.
Sejam
e
vetores em
. Prove que um deles é múltiplo do outro se, e somente se,
para quaisquer
.
Sejam
e
. Ache números
,
, todos não-nulos, tais que
,
.
Sejam os seguintes vetores do
,
e
, com
. O conjunto
é uma base do
desde que c seja diferente de:
a) -2
b) -1
c) 0
d) 2
a) -2
b) -1
c) 0
d) 2