Verifique se o subconjunto W é um subespaço do espaço vetorial V :
(h) W=(x, y, z) in R^3: z=2, V=R^3

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa verificar se o conjunto é um subespaço do espaço vetorial . Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um subespaço e quais são as condições que ele precisa satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço. Um conjunto é um subespaço de se ele atende três condições básicas:
  1. Contém o vetor zero: Ou seja, deve estar em .
  2. É fechado sob adição: Se você pegar dois vetores quaisquer em e somar, o resultado também deve estar em .
  3. É fechado sob multiplicação por escalar: Se você pegar qualquer vetor em e multiplicar por um número real, o vetor resultante também deve estar em .
Vamos checar cada uma dessas condições para o conjunto .

Passo 3

1. Verificando se o vetor zero está em z = 0 não é igual a 2 :
O vetor zero em é . Vamos ver se ele satisfaz a condição :
ãé
Então, o vetor zero não está em .

Passo 4

2. Verificando se u = (x1, y1, 2) e v = (x2, y2, 2) é fechado sob adição:
Mesmo que já tenhamos visto que o vetor zero não está em u + v = (x1 + x2, y1 + y2, 2 + 2) = (x1 + x2, y1 + y2, 4) , vamos continuar para entender melhor. Vamos pegar dois vetores quaisquer em :
Somando eles:
Para que esteja em , a terceira coordenada deveria ser 2, mas aqui é 4, que não é igual a 2. Então, não é fechado sob adição.

Passo 5

3. Verificando se u = (x, y, 2) é fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer em k cdot u = (k x, k y, k cdot 2) = (k x, k y, 2k) :
E multiplicar por um escalar :
Para que esteja em , a terceira coordenada deveria ser 2, independente de . Mas se , não é igual a 2. Assim, não é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como o conjunto não contém o vetor zero, não é fechado sob adição e nem sob multiplicação por escalar, ele não é um subespaço do espaço vetorial .

Exercícios relacionados