Verifique se o subconjunto
é um subespaço do espaço vetorial
:
(h)
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Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa verificar se o conjunto
é um subespaço do espaço vetorial
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um subespaço e quais são as condições que ele precisa satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço. Um conjunto
é um subespaço de
se ele atende três condições básicas:
- Contém o vetor zero: Ou seja,
deve estar em . - É fechado sob adição: Se você pegar dois vetores quaisquer em
e somar, o resultado também deve estar em . - É fechado sob multiplicação por escalar: Se você pegar qualquer vetor em
e multiplicar por um número real, o vetor resultante também deve estar em .
Vamos checar cada uma dessas condições para o conjunto
.
Passo 3
1. Verificando se o vetor zero está em
:
O vetor zero em
é
. Vamos ver se ele satisfaz a condição
:
Então, o vetor zero não está em
.
Passo 4
2. Verificando se
é fechado sob adição:
Mesmo que já tenhamos visto que o vetor zero não está em
, vamos continuar para entender melhor. Vamos pegar dois vetores quaisquer em
:
Somando eles:
Para que
esteja em
, a terceira coordenada deveria ser 2, mas aqui é 4, que não é igual a 2. Então,
não é fechado sob adição.
Passo 5
3. Verificando se
é fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer em
:
E multiplicar por um escalar
:
Para que
esteja em
, a terceira coordenada deveria ser 2, independente de
. Mas se
,
não é igual a 2. Assim,
não é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como o conjunto
não contém o vetor zero, não é fechado sob adição e nem sob multiplicação por escalar, ele não é um subespaço do espaço vetorial
.