Sejam V1, V2, ldots, Vn variáveis aleatórias independentes com distribuição quiquadrado com g1, g2, ldots, gn graus de liberdade respectivamente.
Prove que V=sumj=1^n Vj tem distribuição quiquadrado com g=sumj=1^n gj graus de liberdade.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos várias variáveis aleatórias independentes, cada uma seguindo uma distribuição quiquadrado com diferentes graus de liberdade: V1, V2, ldots, Vn. A tarefa é mostrar que a soma dessas variáveis, ou seja, V = sumj=1^n Vj, também segue uma distribuição quiquadrado, e que os graus de liberdade dessa soma são a soma dos graus de liberdade individuais, g = sumj=1^n gj.

Passo 2

Para resolver isso, vamos lembrar que a soma de variáveis aleatórias independentes segue uma distribuição cujo momento gerador (MGF) é o produto dos momentos geradores individuais. O momento gerador é uma ferramenta útil para identificar a distribuição de uma soma de variáveis aleatórias.

Passo 3

Primeiro, precisamos saber qual é o momento gerador de uma distribuição quiquadrado. Se uma variável aleatória Vj segue uma distribuição quiquadrado com gj graus de liberdade, então o seu MGF é dado por:
MVj(t) = (1 - 2t)^-gj2

Passo 4

Como as variáveis V1, V2, ldots, Vn são independentes, o MGF da soma V = sumj=1^n Vj é o produto dos MGFs individuais:
MV(t) = prodj=1^n MVj(t) = prodj=1^n (1 - 2t)^-gj2

Passo 5

Agora, vamos simplificar esse produto. Como todas as parcelas têm a mesma base (1 - 2t), podemos somar os expoentes:
MV(t) = (1 - 2t)^-12 sumj=1^n gj

Passo 6

Observamos que o MGF resultante é exatamente o MGF de uma distribuição quiquadrado com g = sumj=1^n gj graus de liberdade. Isso porque a forma geral do MGF para uma distribuição quiquadrado com g graus de liberdade é:
MV(t) = (1 - 2t)^-g2

Resposta

Portanto, a soma V = sumj=1^n Vj segue uma distribuição quiquadrado com g = sumj=1^n gj graus de liberdade.

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