Sejam
variáveis aleatórias independentes com distribuição quiquadrado com
graus de liberdade respectivamente.
Prove que
tem distribuição quiquadrado com
graus de liberdade.
Prove que
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos várias variáveis aleatórias independentes, cada uma seguindo uma distribuição quiquadrado com diferentes graus de liberdade:
. A tarefa é mostrar que a soma dessas variáveis, ou seja,
, também segue uma distribuição quiquadrado, e que os graus de liberdade dessa soma são a soma dos graus de liberdade individuais,
.
Passo 2
Para resolver isso, vamos lembrar que a soma de variáveis aleatórias independentes segue uma distribuição cujo momento gerador (MGF) é o produto dos momentos geradores individuais. O momento gerador é uma ferramenta útil para identificar a distribuição de uma soma de variáveis aleatórias.
Passo 3
Primeiro, precisamos saber qual é o momento gerador de uma distribuição quiquadrado. Se uma variável aleatória
segue uma distribuição quiquadrado com
graus de liberdade, então o seu MGF é dado por:
Passo 4
Como as variáveis
são independentes, o MGF da soma
é o produto dos MGFs individuais:
Passo 5
Agora, vamos simplificar esse produto. Como todas as parcelas têm a mesma base
, podemos somar os expoentes:
Passo 6
Observamos que o MGF resultante é exatamente o MGF de uma distribuição quiquadrado com
graus de liberdade. Isso porque a forma geral do MGF para uma distribuição quiquadrado com
graus de liberdade é:
Resposta
Portanto, a soma
segue uma distribuição quiquadrado com
graus de liberdade.