Calcular a função característica da variável aleatória uniforme no intervalo (-a,a).
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa calcular a função característica de uma variável aleatória uniforme no intervalo de
a
. Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade e cálculo, especialmente a definição de função característica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função característica. A função característica
de uma variável aleatória
é definida por:
Aqui,
representa o valor esperado e
é a unidade imaginária.
Passo 3
Como
é uma variável aleatória uniforme no intervalo
, a função densidade de probabilidade (f.d.p.) de
é:
Essa função diz que todos os valores dentro desse intervalo têm a mesma probabilidade.
Passo 4
Agora, substituímos a f.d.p. na definição da função característica:
Aqui, estamos integrando a função
multiplicada pela f.d.p. de
sobre todo o intervalo
a
.
Passo 5
Vamos resolver essa integral. Lembrando que
pode ser integrada facilmente:
Aplicando os limites de integração:
Passo 6
Substituindo
e
:
Sabemos que
, então:
Passo 7
Simplificando a expressão:
Resposta
A função característica da variável aleatória uniforme no intervalo
é: