Calcular a função característica da variável aleatória uniforme no intervalo (-a,a).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa calcular a função característica de uma variável aleatória uniforme no intervalo de -a a a. Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade e cálculo, especialmente a definição de função característica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função característica. A função característica varphiX(t) de uma variável aleatória X é definida por:
varphiX(t) = E[e^itX]
Aqui, E representa o valor esperado e i é a unidade imaginária.

Passo 3

Como X é uma variável aleatória uniforme no intervalo (-a, a), a função densidade de probabilidade (f.d.p.) de X é:
fX(x) = 12a, para x in (-a, a)
Essa função diz que todos os valores dentro desse intervalo têm a mesma probabilidade.

Passo 4

Agora, substituímos a f.d.p. na definição da função característica:
varphiX(t) = integral-a^a e^itx cdot 12a , dx
Aqui, estamos integrando a função e^itx multiplicada pela f.d.p. de X sobre todo o intervalo -a a a.

Passo 5

Vamos resolver essa integral. Lembrando que e^itx pode ser integrada facilmente:
integral e^itx , dx = e^itxit + C
Aplicando os limites de integração:
varphiX(t) = 12a [ e^itxit ]-a^a

Passo 6

Substituindo x = a e x = -a:
varphiX(t) = 12a ( e^ita - e^-itait )
Sabemos que e^ita - e^-ita = 2i sin(at), então:
varphiX(t) = 12a cdot 2i sin(at)it

Passo 7

Simplificando a expressão:
varphiX(t) = sin(at)at

Resposta

A função característica da variável aleatória uniforme no intervalo (-a, a) é:
varphiX(t) = sin(at)at

Exercícios relacionados