Calcular as funções características das variáveis aleatórias seguintes: Poisson (
)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a função característica de uma variável aleatória que segue uma distribuição de Poisson com parâmetro
. A função característica é uma ferramenta importante na probabilidade que nos ajuda a entender melhor o comportamento da variável aleatória. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a definição de função característica e a distribuição de Poisson.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função característica. A função característica
de uma variável aleatória
é definida como:
Aqui,
representa o valor esperado e
é a unidade imaginária. Basicamente, estamos calculando a expectativa do exponencial complexo
.
Passo 3
Agora, vamos focar na distribuição de Poisson. Se
segue uma distribuição de Poisson com parâmetro
, a função de probabilidade de
assumir o valor
é dada por:
Isso significa que a probabilidade de observar exatamente
eventos em um intervalo fixo é dada por essa fórmula.
Passo 4
Com isso em mente, vamos calcular a função característica
. Substituímos a definição da função característica pela soma das probabilidades ponderadas:
Aqui, estamos somando sobre todos os possíveis valores de
, multiplicando
pela probabilidade de
ser igual a
.
Passo 5
Substituindo a função de probabilidade de Poisson na soma, temos:
Podemos reorganizar os termos para facilitar a soma:
Passo 6
A soma que aparece acima é a expansão em série do exponencial
. Ou seja:
Isso simplifica a nossa expressão para:
Resposta
A função característica da variável aleatória Poisson(
) é: