Calcular as funções características das variáveis aleatórias seguintes: Poisson ( lambda )

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a função característica de uma variável aleatória que segue uma distribuição de Poisson com parâmetro lambda. A função característica é uma ferramenta importante na probabilidade que nos ajuda a entender melhor o comportamento da variável aleatória. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a definição de função característica e a distribuição de Poisson.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função característica. A função característica phiX(t) de uma variável aleatória X é definida como:
phiX(t) = E[e^itX]
Aqui, E representa o valor esperado e i é a unidade imaginária. Basicamente, estamos calculando a expectativa do exponencial complexo e^itX.

Passo 3

Agora, vamos focar na distribuição de Poisson. Se X segue uma distribuição de Poisson com parâmetro lambda, a função de probabilidade de X assumir o valor k é dada por:
P(X = k) = e^-lambda lambda^kk!, k = 0, 1, 2, dots
Isso significa que a probabilidade de observar exatamente k eventos em um intervalo fixo é dada por essa fórmula.

Passo 4

Com isso em mente, vamos calcular a função característica phiX(t). Substituímos a definição da função característica pela soma das probabilidades ponderadas:
phiX(t) = E[e^itX] = sumk=0^infty e^itk P(X = k)
Aqui, estamos somando sobre todos os possíveis valores de k, multiplicando e^itk pela probabilidade de X ser igual a k.

Passo 5

Substituindo a função de probabilidade de Poisson na soma, temos:
phiX(t) = sumk=0^infty e^itk cdot e^-lambda lambda^kk!
Podemos reorganizar os termos para facilitar a soma:

Passo 6

A soma que aparece acima é a expansão em série do exponencial e^lambda e^it. Ou seja:
sumk=0^infty (lambda e^it)^kk! = e^lambda e^it
Isso simplifica a nossa expressão para:
phiX(t) = e^-lambda cdot e^lambda e^it = e^lambda (e^it - 1)

Resposta

A função característica da variável aleatória Poisson( lambda) é:
phiX(t) = e^lambda (e^it - 1)

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