Sejam os vetores u=3i+2j+6k, v=-4i-2j+k e w=(2u+3v)-(5k). O produto misto (u,v,w) é
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá três vetores:
- $ \mathbf{u} = 3\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 6\mathbf{k} $
- $ \mathbf{v} = -4\mathbf{i} - 2\mathbf{j} + \mathbf{k} $
- $ \mathbf{w} = (2\mathbf{u} + 3\mathbf{v}) - 5\mathbf{k} $
E nos pede para calcular o produto misto
.
Conteúdo da matéria: Produto misto de vetores, que envolve o produto escalar e o produto vetorial.
O que vamos precisar:
- Calcular o vetor
usando as combinações de e . - Calcular o produto vetorial
. - Calcular o produto escalar
, que é o produto misto.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor
. A fórmula dada é:
Vamos multiplicar cada vetor pelos coeficientes:
Agora, somamos esses resultados e subtraímos
:
Então, $ \mathbf{w} = -6\mathbf{i} - 2\mathbf{j} + 10\mathbf{k} $.
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto vetorial $ \mathbf{v} \times \mathbf{w} $.
Lembrando que o produto vetorial de dois vetores $ \mathbf{a} = a_1\mathbf{i} + a_2\mathbf{j} + a_3\mathbf{k} $ e $ \mathbf{b} = b_1\mathbf{i} + b_2\mathbf{j} + b_3\mathbf{k} $ é dado por:
Aplicando isso para $ \mathbf{v} $ e $ \mathbf{w} $:
Calculando os componentes:
Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto escalar $ \mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} \times \mathbf{w}) $.
O produto escalar de dois vetores $ \mathbf{a} = a_1\mathbf{i} + a_2\mathbf{j} + a_3\mathbf{k} $ e $ \mathbf{b} = b_1\mathbf{i} + b_2\mathbf{j} + b_3\mathbf{k} $ é:
Aplicando para $ \mathbf{u} $ e $ \mathbf{v} \times \mathbf{w} $:
Calculando:
Resposta
O valor do produto misto
(u, v, w) é
-10 .