Sejam os vetores u=3i+2j+6k, v=-4i-2j+k e w=(2u+3v)-(5k). O produto misto (u,v,w) é

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá três vetores:
  • $ \mathbf{u} = 3\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 6\mathbf{k} $
  • $ \mathbf{v} = -4\mathbf{i} - 2\mathbf{j} + \mathbf{k} $
  • $ \mathbf{w} = (2\mathbf{u} + 3\mathbf{v}) - 5\mathbf{k} $
E nos pede para calcular o produto misto u = 3i + 2j + 6k .
Conteúdo da matéria: Produto misto de vetores, que envolve o produto escalar e o produto vetorial.
O que vamos precisar:
  1. Calcular o vetor v = -4i - 2j + k usando as combinações de w = (2u + 3v) - 5k e (u, v, w).
  2. Calcular o produto vetorial w.
  3. Calcular o produto escalar u, que é o produto misto.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor w. A fórmula dada é:
w = (2u + 3v) - 5k
Vamos multiplicar cada vetor pelos coeficientes:
2u = 2(3i + 2j + 6k) = 6i + 4j + 12k
3v = 3(-4i - 2j + k) = -12i - 6j + 3k
Agora, somamos esses resultados e subtraímos 5k:
6i + 4j + 12k + (-12i - 6j + 3k) - 5k
= (6 - 12)i + (4 - 6)j + (12 + 3 - 5)k
= -6i - 2j + 10k
Então, $ \mathbf{w} = -6\mathbf{i} - 2\mathbf{j} + 10\mathbf{k} $.

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto vetorial $ \mathbf{v} \times \mathbf{w} $.
Lembrando que o produto vetorial de dois vetores $ \mathbf{a} = a_1\mathbf{i} + a_2\mathbf{j} + a_3\mathbf{k} $ e $ \mathbf{b} = b_1\mathbf{i} + b_2\mathbf{j} + b_3\mathbf{k} $ é dado por:
v times w
Aplicando isso para $ \mathbf{v} $ e $ \mathbf{w} $:
a = a1i + a2j + a3k
b = b1i + b2j + b3k
Calculando os componentes:
a times b = i & j & k a1 & a2 & a3 b1 & b2 & b3 = (a2b3 - a3b2)i - (a1b3 - a3b1)j + (a1b2 - a2b1)k
v
w
Então,
v = -4i - 2j + k

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar $ \mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} \times \mathbf{w}) $.
O produto escalar de dois vetores $ \mathbf{a} = a_1\mathbf{i} + a_2\mathbf{j} + a_3\mathbf{k} $ e $ \mathbf{b} = b_1\mathbf{i} + b_2\mathbf{j} + b_3\mathbf{k} $ é:
u cdot (v times w)
Aplicando para $ \mathbf{u} $ e $ \mathbf{v} \times \mathbf{w} $:
a = a1i + a2j + a3k
b = b1i + b2j + b3k
Calculando:
a cdot b = a1b1 + a2b2 + a3b3

Resposta

O valor do produto misto (u, v, w) é -10.

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