Sejam
subespaços bidimensionais de
. Mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos dois subespaços bidimensionais,
e
, no espaço tridimensional
. Nosso objetivo é mostrar que a interseção desses dois subespaços, ou seja,
, não é apenas o zero. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos básicos de subespaços vetoriais e suas dimensões.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço bidimensional em
. Um subespaço bidimensional é como um plano que passa pela origem dentro do espaço tridimensional. Então, tanto
quanto
são planos que passam pela origem em
.
Passo 3
Agora, vamos pensar sobre como dois planos podem se relacionar em
. Existem algumas possibilidades:
- Os planos são exatamente o mesmo, então a interseção é todo o plano.
- Os planos se cruzam em uma linha, então a interseção é essa linha.
- Os planos não são paralelos e também não são o mesmo, ainda cruzando em uma linha.
- Se fossem paralelos (e não iguais), então a interseção seria apenas a origem (mas isso só acontece se ambos passarem pela origem, como no nosso caso).
Passo 4
No nosso caso, sabemos que ambos os planos
e
passam pela origem, já que são subespaços de
. Se os planos fossem paralelos mas distintos, a única coisa em comum seria a origem. Mas como ambos têm dimensão 2 e estão no mesmo espaço tridimensional, é impossível que sejam paralelos sem se sobreporem em pelo menos uma linha.
Passo 5
Então, a única possibilidade real é que os dois planos se cruzem em uma linha que passa pela origem. Isso significa que existe pelo menos um vetor diferente de zero que está em ambos os subespaços
e
.
Resposta
Portanto,
.