Sejam W1, W2 subespaços bidimensionais de R^3. Mostre que W1 cap W2 neq0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos dois subespaços bidimensionais, e , no espaço tridimensional . Nosso objetivo é mostrar que a interseção desses dois subespaços, ou seja, , não é apenas o zero. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos básicos de subespaços vetoriais e suas dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço bidimensional em . Um subespaço bidimensional é como um plano que passa pela origem dentro do espaço tridimensional. Então, tanto quanto são planos que passam pela origem em .

Passo 3

Agora, vamos pensar sobre como dois planos podem se relacionar em . Existem algumas possibilidades:
  1. Os planos são exatamente o mesmo, então a interseção é todo o plano.
  2. Os planos se cruzam em uma linha, então a interseção é essa linha.
  3. Os planos não são paralelos e também não são o mesmo, ainda cruzando em uma linha.
  4. Se fossem paralelos (e não iguais), então a interseção seria apenas a origem (mas isso só acontece se ambos passarem pela origem, como no nosso caso).

Passo 4

No nosso caso, sabemos que ambos os planos e passam pela origem, já que são subespaços de . Se os planos fossem paralelos mas distintos, a única coisa em comum seria a origem. Mas como ambos têm dimensão 2 e estão no mesmo espaço tridimensional, é impossível que sejam paralelos sem se sobreporem em pelo menos uma linha.

Passo 5

Então, a única possibilidade real é que os dois planos se cruzem em uma linha que passa pela origem. Isso significa que existe pelo menos um vetor diferente de zero que está em ambos os subespaços e .

Resposta

Portanto, .

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