Suponha que o conjunto de vetores u, v do plano não é uma base do plano. Descreva o que pode acontecer quando tentar escrever um vetor w como c.l. dos vetores do conjunto.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o enunciado: Temos um conjunto de vetores u, v no plano que não forma uma base do plano. Nosso objetivo é entender o que pode ocorrer ao tentar escrever um vetor w como uma combinação linear (c.l.) desses vetores do conjunto. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de base, combinação linear e as condições para que um conjunto de vetores seja uma base em um espaço vetorial.

Passo 2

Um conjunto de vetores que forma uma base de um espaço vetorial precisa satisfazer duas condições principais: ser linearmente independente e gerar todo o espaço (ou seja, ser gerador). No caso do plano, uma base consiste em dois vetores que não são múltiplos um do outro, garantindo que qualquer vetor no plano possa ser escrito como uma combinação linear desses dois vetores.

Passo 3

Como o conjunto u, v não é uma base do plano, significa que ele não satisfaz uma ou ambas as condições mencionadas. Há duas possibilidades:
  1. Dependência linear: Os vetores u e v são múltiplos um do outro, ou seja, um é um múltiplo do outro. Isso significa que eles são colineares e, portanto, não conseguem gerar todo o plano.
  2. Insuficiente para gerar o espaço: Se houver mais restrições, mas no caso de dois vetores no plano, a principal razão para não serem uma base é a dependência linear.

Passo 4

Vamos considerar o que acontece quando tentamos expressar um vetor w como uma combinação linear dos vetores do conjunto não-base u, v.
Se os vetores são linearmente dependentes, ou seja, v = ku para algum escalar k, então qualquer combinação linear de u e v na verdade é apenas uma combinação linear de u, já que v pode ser substituído por ku. Portanto, a “pista” que temos é que somente vetores colineares a u podem ser expressos como combinações lineares do conjunto.

Passo 5

Então, se tentarmos escrever um vetor w como uma combinação linear de u e v, temos que:
w = au + bv
Mas se v = ku, então:
w = au + b(ku) = (a + bk)u
Isso mostra que w está restrito a ser um múltiplo de u.

Passo 6

Portanto, se w não for colinear com u, ou seja, não puder ser escrito como múltiplo de u, então não será possível expressá-lo como uma combinação linear dos vetores u e v. Em outras palavras, nem todo vetor no plano pode ser escrito como combinação linear de u, v se eles não formam uma base.

Resposta

Quando o conjunto u, v não é uma base do plano, ao tentar escrever um vetor w como combinação linear desses vetores, somente os vetores que são múltiplos de u (ou v) podem ser expressos dessa forma. Vetores que não são colineares a u ou v não poderão ser representados como combinação linear de u, v.

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