Prove que, para qualquer matriz quadrada A, o produto A A^T é uma matriz simétrica.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que, para qualquer matriz quadrada , o produto é uma matriz simétrica. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre matrizes e suas propriedades. Vamos precisar entender o que é uma matriz transposta e o que significa uma matriz ser simétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transposta de uma matriz. A transposta de , denotada por , é a matriz que você obtém trocando as linhas pelas colunas de . Por exemplo, se é uma matriz , então será uma matriz .

Passo 3

Agora, vamos definir o que é uma matriz simétrica. Uma matriz é simétrica se ela for igual à sua transposta, ou seja, . Isso significa que os elementos ficam simetricamente distribuídos em relação à diagonal principal.

Passo 4

Nosso objetivo é provar que é simétrica. Para isso, vamos calcular a transposta de e mostrar que ela é igual a .

Passo 5

Sabemos que a transposta do produto de duas matrizes é igual ao produto das transpostas na ordem inversa. Ou seja, .

Passo 6

Observando que a transposta da transposta de uma matriz é a própria matriz, temos . Substituindo na equação anterior, fica .

Passo 7

Então, mostramos que , o que significa que é igual à sua transposta. Assim, é uma matriz simétrica.

Resposta

Portanto, para qualquer matriz quadrada , o produto é uma matriz simétrica.

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