Prove que, para qualquer matriz quadrada
, o produto
é uma matriz simétrica.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que, para qualquer matriz quadrada
, o produto
é uma matriz simétrica. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre matrizes e suas propriedades. Vamos precisar entender o que é uma matriz transposta e o que significa uma matriz ser simétrica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a transposta de uma matriz. A transposta de
, denotada por
, é a matriz que você obtém trocando as linhas pelas colunas de
. Por exemplo, se
é uma matriz
, então
será uma matriz
.
Passo 3
Agora, vamos definir o que é uma matriz simétrica. Uma matriz
é simétrica se ela for igual à sua transposta, ou seja,
. Isso significa que os elementos ficam simetricamente distribuídos em relação à diagonal principal.
Passo 4
Nosso objetivo é provar que
é simétrica. Para isso, vamos calcular a transposta de
e mostrar que ela é igual a
.
Passo 5
Sabemos que a transposta do produto de duas matrizes é igual ao produto das transpostas na ordem inversa. Ou seja,
.
Passo 6
Observando que a transposta da transposta de uma matriz é a própria matriz, temos
. Substituindo na equação anterior, fica
.
Passo 7
Então, mostramos que
, o que significa que
é igual à sua transposta. Assim,
é uma matriz simétrica.
Resposta
Portanto, para qualquer matriz quadrada
, o produto
é uma matriz simétrica.