Sejam X, Y, Z conjuntos. Prove que X ∪ (Y ∩ Z) = (X ∪ Y) ∩ (X ∪ Z).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que . Estamos trabalhando com conjuntos e utilizando as operações de união ( ) e interseção ( ). Para resolver isso, vamos precisar entender como essas operações funcionam e usar propriedades básicas de conjuntos para mostrar que os dois lados da igualdade são realmente iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que está contido em . Isso significa que qualquer elemento que está em também está em .
Como fazer isso:
  1. Pegue um elemento qualquer que pertence a .
  2. Isso significa que está em ou em .
    • Se está em , então certamente está tanto em quanto em , já que faz parte das duas uniões.
    • Se está em , então está em e em . Assim, ele está em e também em .
Conclusão: Em ambos os casos, está em .

Passo 3

Agora, vamos provar o contrário: que está contido em . Ou seja, qualquer elemento que está em também está em .
Como fazer isso:
  1. Pegue um elemento qualquer que pertence a .
  2. Isso significa que está em ambos e .
    • Se está em , então claramente está em .
    • Se não está em , então para estar em , ele precisa estar em , e para estar em , precisa estar em . Portanto, está em , o que significa que está em .
Conclusão: Em ambos os casos, está em .

Resposta

Assim, mostramos que .

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