Sejam
conjuntos. Prove que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que
. Estamos trabalhando com conjuntos e utilizando as operações de união (
) e interseção (
). Para resolver isso, vamos precisar entender como essas operações funcionam e usar propriedades básicas de conjuntos para mostrar que os dois lados da igualdade são realmente iguais.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que
está contido em
. Isso significa que qualquer elemento que está em
também está em
.
Como fazer isso:
- Pegue um elemento qualquer
que pertence a . - Isso significa que
está em ou em . - Se
está em , então certamente está tanto em quanto em , já que faz parte das duas uniões. - Se
está em , então está em e em . Assim, ele está em e também em .
- Se
Conclusão: Em ambos os casos,
está em
.
Passo 3
Agora, vamos provar o contrário: que
está contido em
. Ou seja, qualquer elemento que está em
também está em
.
Como fazer isso:
- Pegue um elemento qualquer
que pertence a . - Isso significa que
está em ambos e . - Se
está em , então claramente está em . - Se
não está em , então para estar em , ele precisa estar em , e para estar em , precisa estar em . Portanto, está em , o que significa que está em .
- Se
Conclusão: Em ambos os casos,
está em
.
Resposta
Assim, mostramos que
.
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.
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