Sejam
variáveis aleatórias independentes e uniformemente distribuídas no intervalo
. Determine
Passo 1
Vamos resolver um exercício de probabilidade que envolve encontrar a esperança matemática do menor valor entre várias variáveis aleatórias. O enunciado nos pede para calcular
, onde
são variáveis aleatórias independentes e uniformemente distribuídas no intervalo
. Para isso, vamos precisar entender conceitos de distribuição uniforme, funções de distribuição acumulada (CDF) e propriedades da esperança matemática.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma variável aleatória uniforme no intervalo
. Isso significa que cada valor dentro desse intervalo é igualmente provável. A função de distribuição acumulada (CDF) para uma variável
uniformemente distribuída é
para
.
Passo 3
Agora, queremos encontrar a distribuição do mínimo dessas variáveis, ou seja, a distribuição de
. A probabilidade de
ser maior que um certo valor
é a mesma que todas as
serem maiores que
. Como as variáveis são independentes, isso é dado por:
Passo 4
A função de distribuição acumulada (CDF) de
é então:
Passo 5
Para encontrar a esperança matemática de
, usamos a fórmula:
Passo 6
Vamos calcular a integral:
Fazendo a substituição
,
, os limites de integração mudam de
para
e
para
. A integral vira:
Passo 7
Agora, integramos
de 0 a 1:
Resposta
A esperança matemática do menor valor é
.