Sejam X1, ldots, Xn variáveis aleatórias independentes e uniformemente distribuídas no intervalo (0,1). Determine
E[min X1, ldots, Xn]

Passo 1

Vamos resolver um exercício de probabilidade que envolve encontrar a esperança matemática do menor valor entre várias variáveis aleatórias. O enunciado nos pede para calcular E[min X1, ldots, Xn], onde X1, ldots, Xn são variáveis aleatórias independentes e uniformemente distribuídas no intervalo (0,1). Para isso, vamos precisar entender conceitos de distribuição uniforme, funções de distribuição acumulada (CDF) e propriedades da esperança matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma variável aleatória uniforme no intervalo (0,1). Isso significa que cada valor dentro desse intervalo é igualmente provável. A função de distribuição acumulada (CDF) para uma variável X uniformemente distribuída é FX(x) = x para 0 <= x <= 1.

Passo 3

Agora, queremos encontrar a distribuição do mínimo dessas variáveis, ou seja, a distribuição de Y = min X1, ldots, Xn. A probabilidade de Y ser maior que um certo valor y é a mesma que todas as Xi serem maiores que y. Como as variáveis são independentes, isso é dado por:
P(Y > y) = P(X1 > y) times P(X2 > y) times cdots times P(Xn > y) = (1 - y)^n

Passo 4

A função de distribuição acumulada (CDF) de Y é então:
FY(y) = P(Y <= y) = 1 - P(Y > y) = 1 - (1 - y)^n

Passo 5

Para encontrar a esperança matemática de Y, usamos a fórmula:
E[Y] = integral0^1 P(Y > y) , dy = integral0^1 (1 - y)^n , dy

Passo 6

Vamos calcular a integral:
E[Y] = integral0^1 (1 - y)^n , dy
Fazendo a substituição u = 1 - y, du = -dy, os limites de integração mudam de y=0 para u=1 e y=1 para u=0. A integral vira:
E[Y] = integral1^0 u^n (-du) = integral0^1 u^n du

Passo 7

Agora, integramos u^n de 0 a 1:
E[Y] = [ u^n+1n+1 ]0^1 = 1^n+1n+1 - 0^n+1n+1 = 1n+1

Resposta

A esperança matemática do menor valor é E[min X1, ldots, Xn] = dfrac1n+1.

Exercícios relacionados