Sejam
variáveis aleatórias independentes e uniformemente distribuídas no intervalo
. Determine
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para encontrarmos a expectativa (ou valor esperado) do máximo entre $ n $ variáveis aleatórias $ X_1, ···, X_n $, que são independentes e uniformemente distribuídas no intervalo $ (0,1) $. Nesse caso, vamos usar conceitos de probabilidade e estatística, especificamente sobre variáveis aleatórias uniformes e estatísticas de ordem.
Passo 2
Primeiro, é importante entender o que queremos encontrar: a esperança do maior valor entre essas $ n $ variáveis. Isso significa calcular o valor médio que esperaríamos obter se repetíssemos o experimento várias vezes.
Passo 3
Para determinar essa expectativa, vamos encontrar a função de distribuição acumulada (CDF) do máximo das variáveis. Como as variáveis são independentes, a probabilidade de que todas sejam menores ou iguais a um certo valor $ x $ é o produto das probabilidades individuais.
Então, a CDF do máximo, $ F_{max}(x) $, é dada por:
Para uma variável uniforme no intervalo $ (0,1) $, $ P(X_i \leq x) = x $. Portanto:
Passo 4
Agora, para encontrar a esperança do máximo, usamos a seguinte fórmula da expectativa:
Sabemos que:
Então, a expectativa fica:
Passo 5
Vamos calcular essa integral:
Calculando cada parte:
Subtraindo as duas partes:
Resposta
A expectativa do máximo $ \max{X_{1}, ···, X_{n}} $ é $ \dfrac{n}{n+1} $.