Se
são variáveis aleatórias não correlacionadas (por pares), cada uma com média 0 e variância 1 , calcule as correlações de
e
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos quatro variáveis aleatórias $ X_{1}, X_{2}, X_{3}, X_{4} $ que não estão correlacionadas entre si, ou seja, a correlação entre qualquer par delas é zero. Além disso, cada uma tem média 0 e variância 1. Queremos descobrir qual é a correlação entre duas novas variáveis que são combinações dessas: $ U = X_{1} + X_{2} $ e $ W = X_{3} + X_{4} $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é correlação. A correlação entre duas variáveis $ U $ e $ W $ é dada por:
Onde $ Cov(U, W) $ é a covariância entre $ U $ e $ W $, e $ \sigma_U $ e $ \sigma_W $ são os desvios padrão de $ U $ e $ W $ respectivamente.
Passo 3
Vamos calcular a covariância $ Cov(U, W) $. Sabemos que:
Então,
Usando a propriedade da linearidade da covariância:
Passo 4
Como as variáveis $ X_{1}, X_{2}, X_{3}, X_{4} $ são não correlacionadas, a covariância entre quaisquer duas delas é zero:
Portanto:
Passo 5
Agora vamos calcular os desvios padrão de $ U $ e $ W $. Primeiro, a variância de $ U $:
Como $ Var(X_{1}) = Var(X_{2}) = 1 $ e $ Cov(X_{1}, X_{2}) = 0 $:
De maneira similar para $ W $:
Passo 6
Agora que temos $ Cov(U, W) = 0 $ e $ \sigma_U = \sigma_W = \sqrt{2} $, podemos calcular a correlação:
Resposta
A correlação entre $ U $ e $ W $ é 0.