Se X1, X2, X3, X4 são variáveis aleatórias não correlacionadas (por pares), cada uma com média 0 e variância 1 , calcule as correlações de
U=X1+X2 e W=X3+X4

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos quatro variáveis aleatórias $ X_{1}, X_{2}, X_{3}, X_{4} $ que não estão correlacionadas entre si, ou seja, a correlação entre qualquer par delas é zero. Além disso, cada uma tem média 0 e variância 1. Queremos descobrir qual é a correlação entre duas novas variáveis que são combinações dessas: $ U = X_{1} + X_{2} $ e $ W = X_{3} + X_{4} $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é correlação. A correlação entre duas variáveis $ U $ e $ W $ é dada por:
U
Onde $ Cov(U, W) $ é a covariância entre $ U $ e $ W $, e $ \sigma_U $ e $ \sigma_W $ são os desvios padrão de $ U $ e $ W $ respectivamente.

Passo 3

Vamos calcular a covariância $ Cov(U, W) $. Sabemos que:
Cov(U, W)
Então,
U = X1 + X2 e W = X3 + X4
Usando a propriedade da linearidade da covariância:
Cov(U, W) = Cov(X1 + X2, X3 + X4)

Passo 4

Como as variáveis $ X_{1}, X_{2}, X_{3}, X_{4} $ são não correlacionadas, a covariância entre quaisquer duas delas é zero:
X1, X2, X3, X4
Portanto:
Cov(Xi, Xj) = 0 para i neq j

Passo 5

Agora vamos calcular os desvios padrão de $ U $ e $ W $. Primeiro, a variância de $ U $:
U
Como $ Var(X_{1}) = Var(X_{2}) = 1 $ e $ Cov(X_{1}, X_{2}) = 0 $:
W
De maneira similar para $ W $:
U

Passo 6

Agora que temos $ Cov(U, W) = 0 $ e $ \sigma_U = \sigma_W = \sqrt{2} $, podemos calcular a correlação:
Cov(U, W) = 0

Resposta

A correlação entre $ U $ e $ W $ é 0.

Exercícios relacionados