Sejam
e
, independentes. Obtenha as distribuições de:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a distribuição de
, onde
e
são duas variáveis aleatórias que seguem uma distribuição normal padrão, ou seja,
e
, e são independentes. Para resolver isso, vamos precisar entender como combinações lineares de variáveis normais funcionam e algumas propriedades básicas da distribuição normal.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a combinação
. Como as variáveis
e
são normais e independentes, qualquer combinação linear delas também será normal. Essa é uma propriedade importante da distribuição normal: se
e
são normais e independentes, então
também é normal para quaisquer constantes
e
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a média e a variância de
. A média de
é a diferença das médias de
e
:
A variância de
é a soma das variâncias, já que as variáveis são independentes:
Portanto,
.
Passo 4
Agora queremos encontrar a distribuição de
. Vamos aplicar uma transformação linear à variável normal. Se
, então
. No nosso caso,
e
.
Passo 5
Aplicando essa transformação:
Então, a variável
segue uma distribuição normal padrão.