Sejam X1 sim N(0,1) e X2 sim N(0,1), independentes. Obtenha as distribuições de:
(X2-X1) / raiz2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a distribuição de X2 - X1raiz2, onde X1 e X2 são duas variáveis aleatórias que seguem uma distribuição normal padrão, ou seja, X1 sim N(0,1) e X2 sim N(0,1), e são independentes. Para resolver isso, vamos precisar entender como combinações lineares de variáveis normais funcionam e algumas propriedades básicas da distribuição normal.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a combinação X2 - X1. Como as variáveis X1 e X2 são normais e independentes, qualquer combinação linear delas também será normal. Essa é uma propriedade importante da distribuição normal: se X e Y são normais e independentes, então aX + bY também é normal para quaisquer constantes a e b.

Passo 3

Agora, vamos calcular a média e a variância de X2 - X1. A média de X2 - X1 é a diferença das médias de X2 e X1:
muX2 - X1 = muX2 - muX1 = 0 - 0 = 0
A variância de X2 - X1 é a soma das variâncias, já que as variáveis são independentes:
sigma^2X2 - X1 = sigma^2X2 + sigma^2X1 = 1 + 1 = 2
Portanto, X2 - X1 sim N(0, 2).

Passo 4

Agora queremos encontrar a distribuição de X2 - X1raiz2. Vamos aplicar uma transformação linear à variável normal. Se Y sim N(mu, sigma^2), então aY + b sim N(amu + b, a^2sigma^2). No nosso caso, a = 1raiz2 e b = 0.

Passo 5

Aplicando essa transformação:
X2 - X1raiz2 sim N(1raiz2 cdot 0 + 0, (1raiz2)^2 cdot 2) = N(0, 12 cdot 2) = N(0, 1)
Então, a variável X2 - X1raiz2 segue uma distribuição normal padrão.

Resposta

X2 - X1raiz2 sim N(0,1)

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