Considere X uma variável com distribuição Normal e parâmetros E(X)=50, Var(X)=25. Calcule P(55.

Passo 1

Aqui temos uma variável X que segue uma distribuição Normal, com média E(X)=50 e variância Var(X)=25. Nosso objetivo é calcular a probabilidade do valor de X estar entre 55 e 60, ou seja, P(55 < X < 60). Para resolver isso, vamos precisar usar a tabela da distribuição Normal padrão e transformar a variável X para a variável padronizada Z.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma distribuição Normal é simétrica e totalmente definida pela sua média e variância. Como a variância é 25, o desvio padrão sigma é a raiz quadrada disso: sigma = raiz25 = 5.

Passo 3

Agora, para calcular P(55 < X < 60), vamos padronizar os valores 55 e 60. A padronização é feita pela fórmula:
Z = X - musigma
onde mu = 50 e sigma = 5.

Passo 4

Vamos calcular Z para X = 55:
Z1 = 55 - 505 = 55 = 1
E para X = 60:
Z2 = 60 - 505 = 105 = 2

Passo 5

Agora, queremos encontrar P(1 < Z < 2). Para isso, usamos a tabela da distribuição Normal padrão. Buscamos os valores correspondentes a Z=2 e Z=1.

Passo 6

Consultando a tabela, temos:
P(Z < 2) approx 0,9772
e
P(Z < 1) approx 0,8413

Passo 7

A probabilidade desejada é a diferença entre essas duas probabilidades:
P(1 < Z < 2) = P(Z < 2) - P(Z < 1) approx 0,9772 - 0,8413 = 0,1359

Resposta

A probabilidade P(55 < X < 60) é aproximadamente 0,1359.

Exercícios relacionados