Seja Y uma variável discreta com distribuição Binomial e parâmetros n=15 e p=0,30. Neste caso, calcule P(6 pela aproximação Normal e compare com o cálculo exato obtido pela Binomial. Os resultados são parecidos? Justifique sua resposta.

Passo 1

Então, vamos resolver um exercício de Probabilidade envolvendo a Distribuição Binomial e a aproximação Normal. A gente tem uma variável aleatória que segue uma distribuição Binomial com parâmetros e . Nosso objetivo é calcular a probabilidade usando a aproximação Normal e depois comparar esse resultado com o cálculo exato da Distribuição Binomial. Vamos precisar entender como usar essas duas distribuições para encontrar a probabilidade desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a Distribuição Binomial. Ela é usada quando temos um número fixo de tentativas independentes (no nosso caso, 15), cada uma com duas possíveis resultados: “sucesso” com probabilidade P(Y = k) = binomnk p^k (1-p)^n-k e “fracasso” com probabilidade . A probabilidade de obter exatamente sucessos em tentativas é dada pela fórmula:

Passo 3

Vamos calcular a probabilidade exata usando a Distribuição Binomial para P(Y = 7) = binom157 (0,30)^7 (0,70)^8 . Como binom157 = 15!7!(15-7)! = 6435 é uma variável discreta, P(Y = 7) = 6435 times (0,30)^7 times (0,70)^8 significa que (0,30)^7 approx 0,0002187 . Então, precisamos calcular (0,70)^8 approx 0,05764801 :
P(Y = 7) approx 6435 times 0,0002187 times 0,05764801 approx 0,081
Primeiro, calculamos o coeficiente binomial:
Agora, substituímos na fórmula:
Calculando os valores:
Então, a probabilidade exata é aproximadamente 8,1%.

Passo 4

Agora, vamos fazer a mesma coisa usando a aproximação Normal. Para isso, precisamos calcular a média ( mu = n times p = 15 times 0,30 = 4,5 ) e o desvio padrão ( sigma = raizn times p times (1 - p) = raiz15 times 0,30 times 0,70 approx raiz3,15 approx 1,775 ) da distribuição Binomial:
P(6,5 < Y < 7,5)
z = X - musigma
A aproximação Normal nos permite calcular z1 = 6,5 - 4,51,775 approx 1,13 usando a continuidade, ou seja, calculamos a probabilidade entre 6,5 e 7,5:
z2 = 7,5 - 4,51,775 approx 1,69
Usamos a fórmula de padronização para encontrar os valores z:
P(6,5 < Y < 7,5) = P(z < 1,69) - P(z < 1,13) approx 0,9545 - 0,8708 = 0,0837
Para :
Para :
Consultando a tabela da distribuição Normal padrão:
Então, a probabilidade aproximada usando a Normal é cerca de 8,37%.

Passo 5

Finalmente, vamos comparar os resultados obtidos:
  • Distribuição Binomial (exata): 8,1%
  • Aproximação Normal: 8,37%
A diferença entre os dois métodos é muito pequena, apenas cerca de 0,27%. Isso mostra que, nesse caso, a aproximação Normal está bem próxima do valor exato da Distribuição Binomial. Essa semelhança ocorre porque, apesar de ser relativamente pequeno, o valor de não é extremamente próximo de 0 ou 1, o que ajuda a tornar a aproximação mais precisa.

Resposta

A probabilidade calculada pela aproximação Normal é aproximadamente 8,37%, enquanto o cálculo exato pela Distribuição Binomial resulta em cerca de 8,1%. Os resultados são bastante similares, indicando que a aproximação Normal é adequada para esse caso.

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