Seja Y uma variável discreta com distribuição Binomial e parâmetros n=15 e
. Neste caso, calcule
pela aproximação Normal e compare com o cálculo exato obtido pela Binomial. Os resultados são parecidos? Justifique sua resposta.
Passo 1
Então, vamos resolver um exercício de Probabilidade envolvendo a Distribuição Binomial e a aproximação Normal. A gente tem uma variável aleatória
que segue uma distribuição Binomial com parâmetros
e
. Nosso objetivo é calcular a probabilidade
usando a aproximação Normal e depois comparar esse resultado com o cálculo exato da Distribuição Binomial. Vamos precisar entender como usar essas duas distribuições para encontrar a probabilidade desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a Distribuição Binomial. Ela é usada quando temos um número fixo de tentativas independentes (no nosso caso, 15), cada uma com duas possíveis resultados: “sucesso” com probabilidade
e “fracasso” com probabilidade
. A probabilidade de obter exatamente
sucessos em
tentativas é dada pela fórmula:
Passo 3
Vamos calcular a probabilidade exata usando a Distribuição Binomial para
. Como
é uma variável discreta,
significa que
. Então, precisamos calcular
:
Primeiro, calculamos o coeficiente binomial:
Agora, substituímos na fórmula:
Calculando os valores:
Então, a probabilidade exata é aproximadamente 8,1%.
Passo 4
Agora, vamos fazer a mesma coisa usando a aproximação Normal. Para isso, precisamos calcular a média (
) e o desvio padrão (
) da distribuição Binomial:
A aproximação Normal nos permite calcular
usando a continuidade, ou seja, calculamos a probabilidade entre 6,5 e 7,5:
Usamos a fórmula de padronização para encontrar os valores z:
Para
:
Para
:
Consultando a tabela da distribuição Normal padrão:
Então, a probabilidade aproximada usando a Normal é cerca de 8,37%.
Passo 5
Finalmente, vamos comparar os resultados obtidos:
- Distribuição Binomial (exata): 8,1%
- Aproximação Normal: 8,37%
A diferença entre os dois métodos é muito pequena, apenas cerca de 0,27%. Isso mostra que, nesse caso, a aproximação Normal está bem próxima do valor exato da Distribuição Binomial. Essa semelhança ocorre porque, apesar de
ser relativamente pequeno, o valor de
não é extremamente próximo de 0 ou 1, o que ajuda a tornar a aproximação mais precisa.
Resposta
A probabilidade
calculada pela aproximação Normal é aproximadamente 8,37%, enquanto o cálculo exato pela Distribuição Binomial resulta em cerca de 8,1%. Os resultados são bastante similares, indicando que a aproximação Normal é adequada para esse caso.