Sejam
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© Demonstre
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© Demonstre
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma lista de números reais
. A média desses números é representada por
. Queremos demonstrar que a soma dos quadrados das diferenças entre cada número e a média é igual à soma dos quadrados dos números menos
vezes o quadrado da média. Basicamente, vamos provar que:
Para isso, vamos usar a propriedade da média e expandir a expressão do lado esquerdo.
Passo 2
Vamos expandir o termo
. Ao fazer isso, aplicamos a fórmula do quadrado da diferença:
Passo 3
Agora, somamos essa expressão para todos os
de 1 a
:
Passo 4
Vamos distribuir a soma para cada termo dentro dos parênteses:
Passo 5
Sabemos que a média
é dada por:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 6
Substituímos
por
na nossa expressão:
Simplificando:
Passo 7
Agora, combinamos os termos semelhantes:
Resposta
Finalmente, demonstramos que: