Sejam xi in R forall i in1, ldots, n.
© Demonstre sumi=1^n(xi-barx)^2=sumi=1^n xi^2-n(barx)^2.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma lista de números reais sumi=1^n(xi-barx)^2 = sumi=1^n xi^2 - n(barx)^2 . A média desses números é representada por . Queremos demonstrar que a soma dos quadrados das diferenças entre cada número e a média é igual à soma dos quadrados dos números menos vezes o quadrado da média. Basicamente, vamos provar que:
Para isso, vamos usar a propriedade da média e expandir a expressão do lado esquerdo.

Passo 2

Vamos expandir o termo (xi - barx)^2 = xi^2 - 2xibarx + barx^2 . Ao fazer isso, aplicamos a fórmula do quadrado da diferença:

Passo 3

Agora, somamos essa expressão para todos os sumi=1^n(xi - barx)^2 = sumi=1^n ( xi^2 - 2xibarx + barx^2 ) de 1 a :

Passo 4

Vamos distribuir a soma para cada termo dentro dos parênteses:
sumi=1^n xi^2 - 2barx sumi=1^n xi + sumi=1^n barx^2

Passo 5

Sabemos que a média barx = 1n sumi=1^n xi é dada por:
nbarx = sumi=1^n xi
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 6

Substituímos sumi=1^n xi^2 - 2barx(nbarx) + sumi=1^n barx^2 por sumi=1^n xi^2 - 2nbarx^2 + nbarx^2 na nossa expressão:
Simplificando:

Passo 7

Agora, combinamos os termos semelhantes:
sumi=1^n xi^2 - nbarx^2

Resposta

Finalmente, demonstramos que:
sumi=1^n(xi-barx)^2 = sumi=1^n xi^2 - n(barx)^2

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