Sejam .
© Demonstre .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma lista de números reais . A média desses números é representada por . Queremos demonstrar que a soma dos quadrados das diferenças entre cada número e a média é igual à soma dos quadrados dos números menos vezes o quadrado da média. Basicamente, vamos provar que:
Para isso, vamos usar a propriedade da média e expandir a expressão do lado esquerdo.

Passo 2

Vamos expandir o termo . Ao fazer isso, aplicamos a fórmula do quadrado da diferença:

Passo 3

Agora, somamos essa expressão para todos os de 1 a :

Passo 4

Vamos distribuir a soma para cada termo dentro dos parênteses:

Passo 5

Sabemos que a média é dada por:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 6

Substituímos por na nossa expressão:
Simplificando:

Passo 7

Agora, combinamos os termos semelhantes:

Resposta

Finalmente, demonstramos que:

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(Johnson e Bhattacharyya, 2019) Segue abaixo os tipos sanguíneos de quarenta voluntários que doaram para um banco de sangue.
O O A B A O A A
A O B O B O O A
O O A A A A AB A
B A A O O A O O
A A A O A O O AB
(b) Faça a tabela de frequência dessa variável. Indique a moda.
O editor de resenhas para determinado periódico científico decide se a resenha para qualquer livro em particular deve ser curta ( páginas), média ( páginas) ou longa (5-6 páginas). Dados de resenhas recentes indicam que delas são curtas, são médias e são longas. As resenhas são feitas no Word ou no Latex. Setenta por cento das resenhas curtas, das resenhas médias e das resenhas longas são feitas no Latex. Suponha que uma resenha recente seja selecionada aleatoriamente.
(a) Qual é a probabilidade de a resenha selecionada ter sido apresentada no formato Latex?
O editor de resenhas para determinado periódico científico decide se a resenha para qualquer livro em particular deve ser curta ( páginas), média ( páginas) ou longa (5-6 páginas). Dados de resenhas recentes indicam que delas são curtas, são médias e são longas. As resenhas são feitas no Word ou no Latex. Setenta por cento das resenhas curtas, das resenhas médias e das resenhas longas são feitas no Latex. Suponha que uma resenha recente seja selecionada aleatoriamente.
(b) Se a resenha selecionada tiver sido apresentada no formato Latex, quais são as probabilidades a posteriori de ela ser curta, média ou longa?
(Bussab e Morettin, 2010) Numa pesquisa realizada com 100 famílias, levantaram-se as seguintes informações:
Número de filhos 0 1 2 3 4 5 mais que 5
Frequência de famílias 17 20 28 19 7 4 5
(b) Quais dificuldades enfrentaria alguém que quisesse calcular a média amostral por essa tabela ?