Uma semiesfera maciça, de raio R, está uniformemente carregada com uma densidade volumétrica de carga
. Calcular
no centro de curvatura.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular o campo elétrico
no centro de curvatura de uma semiesfera maciça com raio
. A matéria envolvida aqui é Eletrostática, mais especificamente, o cálculo de campos elétricos gerados por distribuições de carga. Vamos precisar usar a Lei de Gauss e conceitos de simetria para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma semiesfera maciça com densidade volumétrica de carga
. Isso significa que a carga está distribuída uniformemente em todo o volume da semiesfera. Nossa missão é encontrar o campo elétrico no ponto central da curvatura, que é o ponto onde a superfície curva da semiesfera se encontra com a superfície plana.
Passo 3
Para calcular o campo elétrico nesse ponto, vamos considerar a contribuição de cada pequena parte da carga da semiesfera. O campo elétrico devido a uma pequena carga
nesse ponto será dado pela Lei de Coulomb:
Aqui,
é a constante de permissividade do vácuo,
é a distância entre a carga
e o ponto onde queremos calcular o campo, e
é o vetor unitário na direção de
.
Passo 4
Como a semiesfera está uniformemente carregada, podemos expressar
em termos da densidade volumétrica de carga
e um elemento de volume
:
Para integrar sobre toda a semiesfera, é conveniente usar coordenadas esféricas, onde o elemento de volume é:
Mas como o raio
é constante para a semiesfera, simplificamos para:
Passo 5
Devido à simetria da semiesfera, os componentes do campo elétrico nas direções tangenciais (θ e φ) vão se cancelar, restando apenas o componente na direção radial. Portanto, vamos focar apenas na componente vertical do campo elétrico.
Passo 6
Integrando todas as contribuições das pequenas cargas, temos:
Isso significa que o campo elétrico no centro de curvatura da semiesfera é direcionado verticalmente para cima ou para baixo, dependendo do sinal da carga.
Resposta
O campo elétrico no centro de curvatura da semiesfera é dado por: