Uma semiesfera maciça, de raio R, está uniformemente carregada com uma densidade volumétrica de carga rho. Calcular E no centro de curvatura.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular o campo elétrico E no centro de curvatura de uma semiesfera maciça com raio R. A matéria envolvida aqui é Eletrostática, mais especificamente, o cálculo de campos elétricos gerados por distribuições de carga. Vamos precisar usar a Lei de Gauss e conceitos de simetria para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma semiesfera maciça com densidade volumétrica de carga rho. Isso significa que a carga está distribuída uniformemente em todo o volume da semiesfera. Nossa missão é encontrar o campo elétrico no ponto central da curvatura, que é o ponto onde a superfície curva da semiesfera se encontra com a superfície plana.

Passo 3

Para calcular o campo elétrico nesse ponto, vamos considerar a contribuição de cada pequena parte da carga da semiesfera. O campo elétrico devido a uma pequena carga dq nesse ponto será dado pela Lei de Coulomb:
dE = 14pivarepsilon0 dqr^2 r
Aqui, varepsilon0 é a constante de permissividade do vácuo, r é a distância entre a carga dq e o ponto onde queremos calcular o campo, e r é o vetor unitário na direção de r.

Passo 4

Como a semiesfera está uniformemente carregada, podemos expressar dq em termos da densidade volumétrica de carga rho e um elemento de volume dV:
dq = rho , dV
Para integrar sobre toda a semiesfera, é conveniente usar coordenadas esféricas, onde o elemento de volume é:
dV = R^2 sintheta , dtheta , dphi , dR
Mas como o raio R é constante para a semiesfera, simplificamos para:
dV = R^2 sintheta , dtheta , dphi

Passo 5

Devido à simetria da semiesfera, os componentes do campo elétrico nas direções tangenciais (θ e φ) vão se cancelar, restando apenas o componente na direção radial. Portanto, vamos focar apenas na componente vertical do campo elétrico.

Passo 6

Integrando todas as contribuições das pequenas cargas, temos:
E = rho R4varepsilon0 z
Isso significa que o campo elétrico no centro de curvatura da semiesfera é direcionado verticalmente para cima ou para baixo, dependendo do sinal da carga.

Resposta

O campo elétrico no centro de curvatura da semiesfera é dado por:
E = rho R4varepsilon0 z

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