Considere um bastão (também chamado de reta finita de carga) de diâmetro desprezível, de comprimento L, uniformemente carregado com uma densidade linear de cargas
.
c) Analise agora caso o ponto P situado sobre a reta perpendicular ao bastão passando por um ponto do bastão que o divide em duas partes de comprimentos diferentes
e
, é o mesmo bastão, só o ponto P que está mudando de lugar). Discuta qualitativamente o que muda em relação ao item a).
c) Analise agora caso o ponto P situado sobre a reta perpendicular ao bastão passando por um ponto do bastão que o divide em duas partes de comprimentos diferentes
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um bastão (uma linha de carga) de comprimento $ L $, com carga distribuída uniformemente, ou seja, com densidade linear de carga $ \lambda $. No item c), a gente precisa analisar o campo elétrico no ponto $ P $, que está numa reta perpendicular ao bastão, mas não no meio dele. Esse ponto $ P $ está dividido o bastão em duas partes com comprimentos diferentes $ L_1 $ e $ L_2 $, onde $ L_1 + L_2 = L $. O conteúdo envolvido aqui é eletrostática, especificamente o cálculo do campo elétrico devido a uma distribuição contínua de carga. Vamos precisar usar conceitos de integração para somar as contribuições de cada elemento de carga no bastão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como a gente calcula o campo elétrico $ \mathbf{E} $ devido a uma distribuição contínua de carga. Para uma densidade linear de carga $ \lambda $, um elemento infinitesimal de carga é $ dq = \lambda , dx $. O campo elétrico devido a esse elemento é dado por:
onde $ r $ é a distância do elemento de carga até o ponto $ P $ e $ \hat{\mathbf{r}} $ é o vetor unitário na direção de $ \mathbf{E} $.
Passo 3
No caso padrão (provavelmente o item a)), o ponto $ P $ está no meio do bastão, ou seja, $ L_1 = L_2 = \frac{L}{2} $. Isso faz com que as contribuições dos campos elétricos das duas metades do bastão se simetrem, facilitando o cálculo.
Passo 4
Agora, no item c), o ponto $ P $ não está no meio. Temos $ L_1 $ e $ L_2 $ diferentes. Isso significa que as contribuições do campo elétrico das duas partes do bastão não serão mais simétricas. A parte com comprimento maior ($ L_1 $ ou $ L_2 $) terá uma contribuição maior para o campo elétrico em $ P $.
Passo 5
Graficamente, se a gente imaginar o bastão dividido em $ L_1 $ e $ L_2 $, a distância de cada ponto de carga até $ P $ varia. Para a parte mais próxima de $ P $ ($ L_1
L_2 $), os elementos de carga estão mais afastados e contribuem menos.
Passo 6
Matematicamente, para calcular o campo total $ \mathbf{E} $ em $ P $, teríamos que integrar as contribuições de $ L_1 $ e $ L_2 $ separadamente e depois somá-las:
onde $ d $ é a distância perpendicular do bastão até $ P $.
Passo 7
A diferença qualitativa em relação ao item a) é que, agora, o campo elétrico não será mais zero na componente horizontal devido à falta de simetria. No caso simétrico, essas componentes se cancelam. Aqui, como $ L_1 \neq L_2 $, haverá uma contribuição líquida na direção horizontal, além da componente vertical que sempre se soma.
Passo 8
Portanto, ao deslocar o ponto $ P $ para não estar no meio do bastão, o campo elétrico resultante em $ P $ não será mais apenas na direção perpendicular, mas também terá uma componente na direção ao longo do bastão, dependendo de como $ L_1 $ e $ L_2 $ se comparam.
Resposta
Quando o ponto $ P $ não está no meio do bastão, dividindo-o em partes $ L_1 $ e $ L_2 $ diferentes, o campo elétrico em $ P $ apresenta uma componente adicional na direção ao longo do bastão devido à falta de simetria. Isso faz com que o campo total tenha tanto uma componente perpendicular quanto uma componente horizontal, ao contrário do caso simétrico onde apenas a componente perpendicular existia.