Sendo dados os vetores A=2 i-4 j-3 k, B=4 i+2 j+8 k, C= -2 i-8 j+2 k, e D=9 i+j-6 k, calcule o seguinte.
(f) As possíveis subtrações envolvendo os quatro vetores e os módulos.

Passo 1

Ei! Então, a gente tem um exercício de álgebra vetorial que pede para calcular todas as possíveis subtrações entre quatro vetores dados e também os módulos dessas subtrações. Vamos precisar usar as operações de subtração de vetores e o cálculo de módulo (ou norma) de um vetor. Vou te ajudar passo a passo para entender como resolver isso!

Passo 2

Primeiro, vamos listar todos os vetores que temos:
  • Vetores Dados:

Passo 3

Agora, vamos entender o que significa subtrair vetores. Subtrair um vetor de outro é basicamente remover as componentes do segundo vetor das componentes do primeiro vetor. Se temos X - Y = (Xi - Yi),i + (Xj - Yj),j + (Xk - Yk),k e |V| = raizVi^2 + Vj^2 + Vk^2 , então:
Depois de subtrair os vetores, vamos calcular o módulo (ou norma) do vetor resultante. O módulo de um vetor é dado por:

Passo 4

Vamos listar todas as possíveis subtrações entre os quatro vetores. Como temos 4 vetores, cada um pode ser subtraído dos outros 3, totalizando 12 subtrações. Vamos calcular cada uma delas:

Passo 5

Vamos resolver cada subtração uma por uma:
  1. A - B = (2 - 4),i + (-4 - 2),j + (-3 - 8),k = -2,i -6,j -11,k :
    |A - B| = raiz(-2)^2 + (-6)^2 + (-11)^2 = raiz4 + 36 + 121 = raiz161 approx 12,69
    Módulo:
    A - C = (2 - (-2)),i + (-4 - (-8)),j + (-3 - 2),k = 4,i +4,j -5,k
  2. |A - C| = raiz4^2 + 4^2 + (-5)^2 = raiz16 + 16 + 25 = raiz57 approx 7,55 :
    A - D = (2 - 9),i + (-4 - 1),j + (-3 - (-6)),k = -7,i -5,j +3,k
    Módulo:
    |A - D| = raiz(-7)^2 + (-5)^2 + 3^2 = raiz49 + 25 + 9 = raiz83 approx 9,11
  3. B - A = (4 - 2),i + (2 - (-4)),j + (8 - (-3)),k = 2,i +6,j +11,k :
    |B - A| = raiz2^2 +6^2 +11^2 = raiz4 + 36 + 121 = raiz161 approx 12,69
    Módulo:
    B - C = (4 - (-2)),i + (2 - (-8)),j + (8 - 2),k =6,i +10,j +6,k
  4. |B - C| = raiz6^2 +10^2 +6^2 = raiz36 + 100 + 36 = raiz172 approx 13,11 :
    B - D = (4 - 9),i + (2 -1),j + (8 - (-6)),k = -5,i +1,j +14,k
    Módulo:
    |B - D| = raiz(-5)^2 +1^2 +14^2 = raiz25 +1 +196 = raiz222 approx 14,90
  5. C - A = (-2 -2),i + (-8 - (-4)),j + (2 - (-3)),k = -4,i -4,j +5,k :
    |C - A| = raiz(-4)^2 + (-4)^2 +5^2 = raiz16 + 16 + 25 = raiz57 approx 7,55
    Módulo:
    C - B = (-2 -4),i + (-8 -2),j + (2 -8),k = -6,i -10,j -6,k
  6. |C - B| = raiz(-6)^2 + (-10)^2 + (-6)^2 = raiz36 + 100 + 36 = raiz172 approx 13,11 :
    C - D = (-2 -9),i + (-8 -1),j + (2 - (-6)),k = -11,i -9,j +8,k
    Módulo:
    |C - D| = raiz(-11)^2 + (-9)^2 +8^2 = raiz121 +81 +64 = raiz266 approx 16,31
  7. D - A = (9 -2),i + (1 - (-4)),j + (-6 - (-3)),k =7,i +5,j -3,k :
    |D - A| = raiz7^2 +5^2 +(-3)^2 = raiz49 +25 +9 = raiz83 approx 9,11
    Módulo:
    D - B = (9 -4),i + (1 -2),j + (-6 -8),k =5,i -1,j -14,k
  8. |D - B| = raiz5^2 +(-1)^2 +(-14)^2 = raiz25 +1 +196 = raiz222 approx 14,90 :
    D - C = (9 - (-2)),i + (1 - (-8)),j + (-6 -2),k =11,i +9,j -8,k
    Módulo:
    |D - C| = raiz11^2 +9^2 +(-8)^2 = raiz121 +81 +64 = raiz266 approx 16,31
  9. :
    Módulo:
  10. :
    Módulo:
  11. :
    Módulo:
  12. :
    Módulo:

Resposta

As possíveis subtrações entre os quatro vetores e os seus módulos são:
  1. , módulo ≈ 12,69
  2. , módulo ≈ 7,55
  3. , módulo ≈ 9,11
  4. , módulo ≈ 12,69
  5. , módulo ≈ 13,11
  6. , módulo ≈ 14,90
  7. , módulo ≈ 7,55
  8. , módulo ≈ 13,11
  9. , módulo ≈ 16,31
  10. , módulo ≈ 9,11
  11. , módulo ≈ 14,90
  12. , módulo ≈ 16,31

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