Sendo dados os vetores A=2 i-4 j-3 k, B=4 i+2 j+8 k, C= -2 i-8 j+2 k, e D=9 i+j-6 k, calcule o seguinte.
(e) As possíveis subtrações mediante o uso de três vetores e os módulos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá quatro vetores: A, B, C e D. A gente precisa fazer subtrações entre eles usando três vetores de cada vez e, depois, calcular o módulo (ou seja, o comprimento) desses vetores resultantes. Para isso, vamos precisar saber como subtrair vetores e como calcular o módulo de um vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como subtrair vetores. Se temos dois vetores, digamos U e V, a subtração U - V é feita subtraindo componente a componente. Ou seja:
U - V = (Ux - Vx)i + (Uy - Vy)j + (Uz - Vz)k

Passo 3

Agora, vamos calcular as subtrações possíveis usando três vetores. Como temos quatro vetores no total, vamos escolher todas as combinações possíveis de três vetores e realizar as subtrações entre eles. As combinações são:
  1. A, B e C
  2. A, B e D
  3. A, C e D
  4. B, C e D

Passo 4

Vamos começar com a primeira combinação: A, B e C.
Vamos fazer as subtrações:
  • A - B = (2 - 4)i + (-4 - 2)j + (-3 - 8)k = -2i - 6j - 11k
  • A - C = (2 - (-2))i + (-4 - (-8))j + (-3 - 2)k = 4i + 4j - 5k
  • B - C = (4 - (-2))i + (2 - (-8))j + (8 - 2)k = 6i + 10j + 6k

Passo 5

Agora, vamos calcular os módulos desses vetores resultantes usando a fórmula:
|V| = raizVx^2 + Vy^2 + Vz^2
Aplicando isso:
  • Para A - B = -2i - 6j - 11k:
|A - B| = raiz(-2)^2 + (-6)^2 + (-11)^2 = raiz4 + 36 + 121 = raiz161 approx 12,69
  • Para A - C = 4i + 4j - 5k:
|A - C| = raiz4^2 + 4^2 + (-5)^2 = raiz16 + 16 + 25 = raiz57 approx 7,55
  • Para B - C = 6i + 10j + 6k:
|B - C| = raiz6^2 + 10^2 + 6^2 = raiz36 + 100 + 36 = raiz172 approx 13,11

Passo 6

Repetindo o mesmo processo para as demais combinações:
Segunda combinação: A, B e D
  • A - B = -2i - 6j - 11k (já calculado acima)
  • A - D = (2 - 9)i + (-4 - 1)j + (-3 - (-6))k = -7i - 5j + 3k
  • B - D = (4 - 9)i + (2 - 1)j + (8 - (-6))k = -5i + j + 14k
Cálculo dos módulos:
  • Para A - D = -7i - 5j + 3k:
|A - D| = raiz(-7)^2 + (-5)^2 + 3^2 = raiz49 + 25 + 9 = raiz83 approx 9,11
  • Para B - D = -5i + j + 14k:
|B - D| = raiz(-5)^2 + 1^2 + 14^2 = raiz25 + 1 + 196 = raiz222 approx 14,90

Passo 7

Terceira combinação: A, C e D
  • A - C = 4i + 4j - 5k (já calculado acima)
  • A - D = -7i - 5j + 3k (já calculado acima)
  • C - D = (-2 - 9)i + (-8 - 1)j + (2 - (-6))k = -11i - 9j + 8k
Cálculo do módulo:
  • Para C - D = -11i - 9j + 8k:
|C - D| = raiz(-11)^2 + (-9)^2 + 8^2 = raiz121 + 81 + 64 = raiz266 approx 16,31

Passo 8

Quarta combinação: B, C e D
  • B - C = 6i + 10j + 6k (já calculado acima)
  • B - D = -5i + j + 14k (já calculado acima)
  • C - D = -11i - 9j + 8k (já calculado acima)

Resposta

As possíveis subtrações de três vetores e seus módulos são:
  1. A - B = -2i - 6j - 11k, módulo ≈ 12,69
  2. A - C = 4i + 4j - 5k, módulo ≈ 7,55
  3. B - C = 6i + 10j + 6k, módulo ≈ 13,11
  4. A - D = -7i - 5j + 3k, módulo ≈ 9,11
  5. B - D = -5i + j + 14k, módulo ≈ 14,90
  6. C - D = -11i - 9j + 8k, módulo ≈ 16,31

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