Sendo dados os vetores A=2 i-4 j-3 k, B=4 i+2 j+8 k, C= -2 i-8 j+2 k, e D=9 i+j-6 k, calcule o seguinte.
© Todas as possíveis somas em que são utilizados três dos vetores e seus módulos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de vetores! A gente tem quatro vetores: A, B, C e D. A pergunta é para calcular todas as possíveis somas que usam três desses vetores e depois encontrar o módulo (ou comprimento) dessas somas. Para isso, vamos precisar saber como somar vetores e como calcular o módulo de um vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as combinações possíveis de três vetores entre os quatro disponíveis. Temos:
  1. A + B + C
  2. A + B + D
  3. A + C + D
  4. B + C + D
Agora, vamos somar cada conjunto de vetores passo a passo, somando componente por componente.

Passo 3

1. Soma de A, B e C:
A + B + C = (2i - 4j - 3k) + (4i + 2j + 8k) + (-2i - 8j + 2k)
Somando as componentes:
(2 + 4 - 2)i + (-4 + 2 - 8)j + (-3 + 8 + 2)k = 4i - 10j + 7k
2. Soma de A, B e D:
A + B + D = (2i - 4j - 3k) + (4i + 2j + 8k) + (9i + j - 6k)
Somando as componentes:
(2 + 4 + 9)i + (-4 + 2 + 1)j + (-3 + 8 - 6)k = 15i - 1j - 1k
3. Soma de A, C e D:
A + C + D = (2i - 4j - 3k) + (-2i - 8j + 2k) + (9i + j - 6k)
Somando as componentes:
(2 - 2 + 9)i + (-4 - 8 + 1)j + (-3 + 2 - 6)k = 9i - 11j - 7k
4. Soma de B, C e D:
B + C + D = (4i + 2j + 8k) + (-2i - 8j + 2k) + (9i + j - 6k)
Somando as componentes:
(4 - 2 + 9)i + (2 - 8 + 1)j + (8 + 2 - 6)k = 11i - 5j + 4k

Passo 4

Agora que temos todas as somas dos vetores, vamos calcular o módulo de cada uma. A fórmula para o módulo de um vetor |V| = raiza^2 + b^2 + c^2 é:
|A + B + C| = raiz4^2 + (-10)^2 + 7^2 = raiz16 + 100 + 49 = raiz165 approx 12,85
Vamos aplicar essa fórmula a cada soma que encontramos.
1. Módulo de |A + B + D| = raiz15^2 + (-1)^2 + (-1)^2 = raiz225 + 1 + 1 = raiz227 approx 15,07 :
|A + C + D| = raiz9^2 + (-11)^2 + (-7)^2 = raiz81 + 121 + 49 = raiz251 approx 15,84
2. Módulo de |B + C + D| = raiz11^2 + (-5)^2 + 4^2 = raiz121 + 25 + 16 = raiz162 approx 12,73 :
3. Módulo de :
4. Módulo de :

Resposta

As possíveis somas utilizando três dos vetores e seus módulos são:
  1. , com módulo aproximadamente 12,85.
  2. , com módulo aproximadamente 15,07.
  3. , com módulo aproximadamente 15,84.
  4. , com módulo aproximadamente 12,73.

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