Sendo
, calcular
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de probabilidade
para
e precisamos calcular a esperança matemática de
, que é representada por
. Isso faz parte da matéria de Probabilidade e Estatística, mais especificamente, está relacionado às distribuições de probabilidade discretas. Para resolver, vamos precisar entender o que é a esperança matemática e como calculá-la para distribuições geométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a esperança matemática. A esperança
de uma variável aleatória discreta
é uma média ponderada de todos os possíveis valores que
pode assumir, multiplicados pelas suas respectivas probabilidades. Matematicamente, isso é dado por:
No nosso caso,
, então precisamos calcular:
Passo 3
Esse somatório é característico de uma distribuição geométrica, onde a probabilidade de sucesso é constante em cada ensaio. A distribuição geométrica tem a propriedade de que:
onde
é a probabilidade de sucesso em cada ensaio. Para identificar
na nossa função de probabilidade, vamos comparar com a forma geral da distribuição geométrica, que é:
No nosso exercício, temos
. Para igualar as duas expressões, precisamos ajustar os índices:
Isso implica que
e
.
Passo 4
Agora que identificamos
, podemos usar a fórmula da esperança para a distribuição geométrica:
Portanto, a esperança matemática de
é 2.
Resposta
O valor de
é 2.