Sendo P(X=x)=0,5^x, x=1,2,3, ldots, calcular E(X).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de probabilidade para e precisamos calcular a esperança matemática de , que é representada por . Isso faz parte da matéria de Probabilidade e Estatística, mais especificamente, está relacionado às distribuições de probabilidade discretas. Para resolver, vamos precisar entender o que é a esperança matemática e como calculá-la para distribuições geométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a esperança matemática. A esperança E(X) = sumx=1^infty x cdot P(X=x) de uma variável aleatória discreta E(X) = sumx=1^infty x cdot 0,5^x é uma média ponderada de todos os possíveis valores que pode assumir, multiplicados pelas suas respectivas probabilidades. Matematicamente, isso é dado por:
No nosso caso, , então precisamos calcular:

Passo 3

Esse somatório é característico de uma distribuição geométrica, onde a probabilidade de sucesso é constante em cada ensaio. A distribuição geométrica tem a propriedade de que:
E(X) = 1p
onde P(X=x) = (1-p)^x-1 p é a probabilidade de sucesso em cada ensaio. Para identificar 0,5^x = (1-p)^x-1 p na nossa função de probabilidade, vamos comparar com a forma geral da distribuição geométrica, que é:
No nosso exercício, temos . Para igualar as duas expressões, precisamos ajustar os índices:
Isso implica que e .

Passo 4

Agora que identificamos E(X) = 1p = 10,5 = 2 , podemos usar a fórmula da esperança para a distribuição geométrica:
Portanto, a esperança matemática de é 2.

Resposta

O valor de é 2.

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