Uma senha de 5 caracteres distintos deve ser formada usando as letras A e O e os números 0, 1, 2. As senhas devem começar e terminar com letras, mas não é permitido usar o 0 (zero) ao lado do O (letra o). Quantas senhas podem-se formar atendendo às regras estabelecidas?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir quantas senhas de 5 caracteres distintos podemos formar usando as letras A e O, além dos números 0, 1 e 2. As regras são:
  • A senha deve começar e terminar com uma letra.
  • Não podemos colocar o número 0 ao lado da letra O.
  • Todos os caracteres na senha devem ser diferentes.
Pra resolver isso, vamos precisar entender um pouco de permutação (que é só uma maneira chique de dizer “arranjar coisas em ordem”) e restrições (as regras que vamos seguir).

Passo 2

Primeiro, vamos identificar quais são os caracteres que temos disponíveis: A, O, 0, 1 e 2. São 5 opções no total.
Como a senha tem 5 caracteres e todos têm que ser diferentes, vamos usar todas essas 5 opções, mas com algumas regras sobre onde elas podem estar.
As posições da senha são assim:
  1. Primeira posição: tem que ser uma letra (A ou O).
  2. Segunda posição: pode ser qualquer dos números ou a outra letra.
  3. Terceira posição: qualquer número ou letra restante.
  4. Quarta posição: qualquer número ou letra que ainda não foi usado.
  5. Quinta posição: tem que ser a outra letra que não foi usada na primeira posição.

Passo 3

Vamos calcular quantas combinações existem sem considerar ainda a restrição do 0 não estar ao lado do O.
  • Primeira posição: 2 opções (A ou O).
  • Quinta posição: como tem que ser uma letra diferente da primeira, resta só 1 opção.
  • As três posições do meio: vamos arranjar os 3 números restantes em 3 posições, que dá 3! = 6 maneiras.
Então, sem as restrições, temos:
$ 2 , (opções para a primeira) \times 1 , (opção para a última) \times 6 , (permutação dos no meio) = 12 $ senhas.

Passo 4

Agora, vamos aplicar a restrição de que o 0 não pode estar ao lado do O.
Temos dois casos:
  1. Primeira posição é O:
    • Última posição será A.
    • O 0 não pode estar na segunda posição.
    • Das 6 combinações, se o 0 estiver na segunda posição, temos 2 opções inválidas.
    • Então, nesse caso, temos $ 6 - 2 = 4 $ senhas válidas.
  2. Primeira posição é A:
    • Última posição será O.
    • O 0 não pode estar na quarta posição.
    • Novamente, das 6 combinações, 2 terão o 0 na quarta posição.
    • Assim, também aqui temos $ 6 - 2 = 4 $ senhas válidas.
Somando os dois casos:
$ 4 + 4 = 8 $ senhas válidas.

Resposta

Podemos formar 8 senhas que atendem às regras estabelecidas.

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