Na sequência abaixo, cada elemento, a partir do segundo, é sempre maior ou igual ao elemento anterior. Além disso, a soma de todos os elementos da sequência é 39. (1,2,x,6,y,y,10) Se x e y são números inteiros, então o produto x.y vale, no máximo,
A) 18
B) 30
C) 32
D) 42
E) 45
A) 18
B) 30
C) 32
D) 42
E) 45
Passo 1
Beleza, então a gente tem uma sequência de números: (1, 2, x, 6, y, y, 10). A partir do segundo número, cada número é maior ou igual ao anterior. A soma de todos esses números é 39. Precisamos descobrir quais são os valores de x e y, sabendo que são números inteiros, e então achar o máximo produto possível de x e y. Para resolver isso, vamos usar conceitos de progressão e soma de sequências, além de algumas propriedades de números inteiros.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os valores conhecidos na sequência: 1, 2, x, 6, y, y, 10. Sabemos que cada número a partir do segundo é maior ou igual ao anterior, então podemos escrever algumas desigualdades:
- 2 ≥ 1 (satisfaz)
- x ≥ 2
- 6 ≥ x
- y ≥ 6
- y ≥ y (óbvio)
- 10 ≥ y
Passo 3
Com essas desigualdades, conseguimos restringir os possíveis valores de x e y. Vamos organizar:
Para x:
2 ≤ x ≤ 6
2 ≤ x ≤ 6
Para y:
6 ≤ y ≤ 10
6 ≤ y ≤ 10
Como x e y são inteiros, os possíveis valores são:
- x: 2, 3, 4, 5, 6
- y: 6, 7, 8, 9, 10
Passo 4
Agora, sabemos que a soma de todos os elementos é 39. Vamos somar os números que já conhecemos e deixar x e y como incógnitas:
1 + 2 + x + 6 + y + y + 10 = 39
Soma dos números conhecidos: 1 + 2 + 6 + 10 = 19
Então, 19 + x + 2y = 39
Passo 5
Vamos isolar x + 2y:
x + 2y = 39 - 19
x + 2y = 20
x + 2y = 20
Agora, queremos encontrar valores de x e y que satisfazem essa equação, respeitando as restrições que encontramos antes.
Passo 6
Vamos tentar diferentes valores de x e ver quais y satisfazem a equação x + 2y = 20, lembrando que 2 ≤ x ≤ 6 e 6 ≤ y ≤ 10.
-
Se x = 2:
2 + 2y = 20 → 2y = 18 → y = 9 -
Se x = 3:
3 + 2y = 20 → 2y = 17 → y = 8.5 → Não é inteiro, descartamos. -
Se x = 4:
4 + 2y = 20 → 2y = 16 → y = 8 -
Se x = 5:
5 + 2y = 20 → 2y = 15 → y = 7.5 → Não é inteiro, descartamos. -
Se x = 6:
6 + 2y = 20 → 2y = 14 → y = 7
Passo 7
Então, as soluções inteiras possíveis são:
- (x=2, y=9)
- (x=4, y=8)
- (x=6, y=7)
Agora, precisamos calcular o produto x * y para cada uma dessas soluções:
- 2 * 9 = 18
- 4 * 8 = 32
- 6 * 7 = 42
Passo 8
Queremos o valor máximo desse produto. Olhando para os resultados:
18, 32 e 42.
O maior valor é 42.
Resposta
D) 42