Na sequência abaixo, cada elemento, a partir do segundo, é sempre maior ou igual ao elemento anterior. Além disso, a soma de todos os elementos da sequência é 39. (1,2,x,6,y,y,10) Se x e y são números inteiros, então o produto x.y vale, no máximo,
A) 18
B) 30
C) 32
D) 42
E) 45

Passo 1

Beleza, então a gente tem uma sequência de números: (1, 2, x, 6, y, y, 10). A partir do segundo número, cada número é maior ou igual ao anterior. A soma de todos esses números é 39. Precisamos descobrir quais são os valores de x e y, sabendo que são números inteiros, e então achar o máximo produto possível de x e y. Para resolver isso, vamos usar conceitos de progressão e soma de sequências, além de algumas propriedades de números inteiros.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os valores conhecidos na sequência: 1, 2, x, 6, y, y, 10. Sabemos que cada número a partir do segundo é maior ou igual ao anterior, então podemos escrever algumas desigualdades:
  • 2 ≥ 1 (satisfaz)
  • x ≥ 2
  • 6 ≥ x
  • y ≥ 6
  • y ≥ y (óbvio)
  • 10 ≥ y

Passo 3

Com essas desigualdades, conseguimos restringir os possíveis valores de x e y. Vamos organizar:
Para x:
2 ≤ x ≤ 6
Para y:
6 ≤ y ≤ 10
Como x e y são inteiros, os possíveis valores são:
  • x: 2, 3, 4, 5, 6
  • y: 6, 7, 8, 9, 10

Passo 4

Agora, sabemos que a soma de todos os elementos é 39. Vamos somar os números que já conhecemos e deixar x e y como incógnitas:
1 + 2 + x + 6 + y + y + 10 = 39
Soma dos números conhecidos: 1 + 2 + 6 + 10 = 19
Então, 19 + x + 2y = 39

Passo 5

Vamos isolar x + 2y:
x + 2y = 39 - 19
x + 2y = 20
Agora, queremos encontrar valores de x e y que satisfazem essa equação, respeitando as restrições que encontramos antes.

Passo 6

Vamos tentar diferentes valores de x e ver quais y satisfazem a equação x + 2y = 20, lembrando que 2 ≤ x ≤ 6 e 6 ≤ y ≤ 10.
  • Se x = 2:
    2 + 2y = 20 → 2y = 18 → y = 9
  • Se x = 3:
    3 + 2y = 20 → 2y = 17 → y = 8.5 → Não é inteiro, descartamos.
  • Se x = 4:
    4 + 2y = 20 → 2y = 16 → y = 8
  • Se x = 5:
    5 + 2y = 20 → 2y = 15 → y = 7.5 → Não é inteiro, descartamos.
  • Se x = 6:
    6 + 2y = 20 → 2y = 14 → y = 7

Passo 7

Então, as soluções inteiras possíveis são:
  • (x=2, y=9)
  • (x=4, y=8)
  • (x=6, y=7)
Agora, precisamos calcular o produto x * y para cada uma dessas soluções:
  • 2 * 9 = 18
  • 4 * 8 = 32
  • 6 * 7 = 42

Passo 8

Queremos o valor máximo desse produto. Olhando para os resultados:
18, 32 e 42.
O maior valor é 42.

Resposta

D) 42

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