Quais das sequências a_n nos convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente: a_n = 3^n / n^3

Passo 1

Então, temos a sequência . A questão pede para determinar se essa sequência converge ou diverge e, se convergir, encontrar o limite. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de limites de sequências e comparar o crescimento de funções exponenciais e polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento geral da sequência conforme aumenta. Sabemos que é uma função exponencial, que cresce muito rápido, enquanto é uma função polinomial de grau 3, que também cresce, mas muito mais devagar comparada à exponencial.

Passo 3

Para comparar o crescimento dessas duas funções, vamos considerar o limite de quando tende ao infinito:
Isso nos ajudará a determinar se a sequência converge para um valor finito ou se diverge para infinito.

Passo 4

Sabemos que, em geral, funções exponenciais de base maior que 1 crescem mais rapidamente que qualquer função polinomial. Portanto, esperamos que domine à medida que aumenta, fazendo com que a fração cresça sem limites.

Passo 5

Confirmando com o limite:
Isso significa que, conforme se aproxima do infinito, também cresce sem limites, ou seja, a sequência diverge.

Resposta

A sequência diverge, ou seja, não converge para um limite finito.

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