Quais das sequências
nos convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente:
Passo 1
Então, temos a sequência
. A questão pede para determinar se essa sequência converge ou diverge e, se convergir, encontrar o limite. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de limites de sequências e comparar o crescimento de funções exponenciais e polinomiais.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento geral da sequência
conforme
aumenta. Sabemos que
é uma função exponencial, que cresce muito rápido, enquanto
é uma função polinomial de grau 3, que também cresce, mas muito mais devagar comparada à exponencial.
Passo 3
Para comparar o crescimento dessas duas funções, vamos considerar o limite de
quando
tende ao infinito:
Isso nos ajudará a determinar se a sequência converge para um valor finito ou se diverge para infinito.
Passo 4
Sabemos que, em geral, funções exponenciais de base maior que 1 crescem mais rapidamente que qualquer função polinomial. Portanto, esperamos que
domine
à medida que
aumenta, fazendo com que a fração
cresça sem limites.
Passo 5
Confirmando com o limite:
Isso significa que, conforme
se aproxima do infinito,
também cresce sem limites, ou seja, a sequência diverge.
Resposta
A sequência
diverge, ou seja, não converge para um limite finito.