(g) ( ) Se
e
são sequências tais que
, então a
é convergente;
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem duas sequências,
e
, e sabemos que
. A pergunta é: será que a sequência formada pelos produtos
também converge?
Matéria envolvida: Limites de sequências e propriedades de convergência.
O que vamos precisar: Saber o que significa uma sequência convergir e como os limites se comportam quando a gente multiplica termos de sequências.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma sequência convergir. Dizemos que uma sequência
converge para um número
se, conforme
fica grande, os termos
se aproximam cada vez mais de
.
No nosso caso, queremos mostrar que
converge. Sabemos que
, mas o que sabemos sobre
? Para garantir a convergência de
, é importante que
seja limitada, ou seja, que exista um número
tal que
para todo
.
Passo 3
Assumindo que
é uma sequência limitada, temos que existe um número
tal que
para todo
. Agora, vamos analisar o produto
:
Como
, então
. Multiplicando por
, que é uma constante, temos:
Isso significa que
.
Resposta
Portanto, a sequência
converge e seu limite é
.