(g) ( ) Se (an) e (bn) são sequências tais que lim n +infty an=0, então a (an bn) é convergente;

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem duas sequências, e , e sabemos que . A pergunta é: será que a sequência formada pelos produtos também converge?
Matéria envolvida: Limites de sequências e propriedades de convergência.
O que vamos precisar: Saber o que significa uma sequência convergir e como os limites se comportam quando a gente multiplica termos de sequências.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma sequência convergir. Dizemos que uma sequência converge para um número se, conforme fica grande, os termos se aproximam cada vez mais de .
No nosso caso, queremos mostrar que converge. Sabemos que , mas o que sabemos sobre ? Para garantir a convergência de , é importante que seja limitada, ou seja, que exista um número tal que para todo .

Passo 3

Assumindo que |an bn| = |an| cdot |bn| <= |an| cdot M é uma sequência limitada, temos que existe um número limn to +infty |an bn| <= limn to +infty |an| cdot M = 0 cdot M = 0 tal que para todo . Agora, vamos analisar o produto :
Como , então . Multiplicando por , que é uma constante, temos:
Isso significa que .

Resposta

Portanto, a sequência converge e seu limite é .

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