O setor de qualidade de uma empresa coletou e pesou uma amostra aleatória de 10 pacotes de biscoitos. A média amostral obtida foi de
com desvio padrão de
. Ao nível de confiança de
, qual é o intervalo de confiança para a média da população de todos os pacotes de biscoito? Resposta: [158,14; 158,86]
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está lidando com estatística, mais especificamente com intervalo de confiança. O que isso quer dizer? Que a gente quer saber, com 95% de confiança, qual é a média real de todos os pacotes de biscoitos da empresa. Para isso, vamos usar a média e o desvio padrão da nossa amostra, que são $ 158,5 \mathrm{~g} $ e $ 0,5 \mathrm{~g} $ respectivamente.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender qual distribuição usar. Como a amostra é pequena (apenas 10 pacotes) e não sabemos o desvio padrão da população, vamos usar a distribuição t de Student. Essa distribuição é adequada para amostras pequenas e quando o desvio padrão da população não é conhecido.
Passo 3
Vamos precisar encontrar o valor crítico t para um nível de confiança de 95% com $ n - 1 $ graus de liberdade. Aqui, $ n = 10 $, então os graus de liberdade são $ 10 - 1 = 9 $. Consultando uma tabela t ou usando uma calculadora, encontramos que o valor crítico t é aproximadamente 2,262.
Passo 4
Agora, vamos calcular o erro padrão da média. A fórmula é:
Onde $ s = 0,5 \mathrm{~g} $ e $ n = 10 $. Então:
Passo 5
Com o erro padrão e o valor crítico t, podemos calcular a margem de erro:
Passo 6
Agora, vamos determinar o intervalo de confiança. A fórmula é:
Onde $ \bar{x} = 158,5 \mathrm{~g} $:
Resposta
O intervalo de confiança para a média da população é
gramas.