Show that, if A cdot B=A cdot C and A times B=A times C, where A is not a null vector, then B=C.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três vetores: , e . Sabemos que:
  • O produto escalar de com é igual ao produto escalar de com , ou seja, .
  • O produto vetorial de com também é igual ao produto vetorial de com , ou seja, .
Além disso, sabemos que o vetor não é nulo (não tem comprimento zero). Nosso objetivo é mostrar que, com essas igualdades, necessariamente .

Passo 2

Vamos começar reorganizando as equações que temos. Se A cdot (B - C) = 0 e A times (B - C) = 0 , podemos subtrair de ambos os lados da primeira igualdade e de ambos os lados da segunda igualdade. Assim, teremos:
Isso significa que o vetor tem produto escalar zero com e também produto vetorial zero com .

Passo 3

Vamos analisar o que essas duas novas equações nos dizem sobre o vetor .
Primeiro, implica que os vetores e são paralelos ou que é o vetor nulo. Isso porque o produto vetorial de dois vetores é zero se eles forem paralelos ou se pelo menos um dos vetores for nulo.
Segundo, significa que é perpendicular a .

Passo 4

Agora, combinando essas duas informações:
  1. Se A cdot (kA) = k (A cdot A) = 0 é paralelo a , então existe um escalar tal que .
  2. Ao mesmo tempo, é perpendicular a , ou seja, .
Substituindo por na segunda equação:
Como não é o vetor nulo, . Portanto, para que a equação seja satisfeita, deve ser zero.

Passo 5

Com B - C = 0 cdot A = 0 , temos:
Isso significa que .

Resposta

Portanto, mostramos que quando e , dado que não é o vetor nulo.

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