Show that, if
and
, where
is not a null vector, then
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três vetores:
,
e
. Sabemos que:
- O produto escalar de
com é igual ao produto escalar de com , ou seja, . - O produto vetorial de
com também é igual ao produto vetorial de com , ou seja, .
Além disso, sabemos que o vetor
não é nulo (não tem comprimento zero). Nosso objetivo é mostrar que, com essas igualdades, necessariamente
.
Passo 2
Vamos começar reorganizando as equações que temos. Se
e
, podemos subtrair
de ambos os lados da primeira igualdade e
de ambos os lados da segunda igualdade. Assim, teremos:
Isso significa que o vetor
tem produto escalar zero com
e também produto vetorial zero com
.
Passo 3
Vamos analisar o que essas duas novas equações nos dizem sobre o vetor
.
Primeiro,
implica que os vetores
e
são paralelos ou que
é o vetor nulo. Isso porque o produto vetorial de dois vetores é zero se eles forem paralelos ou se pelo menos um dos vetores for nulo.
Segundo,
significa que
é perpendicular a
.
Passo 4
Agora, combinando essas duas informações:
-
Se
é paralelo a , então existe um escalar tal que . -
Ao mesmo tempo,
é perpendicular a , ou seja, .
Substituindo
por
na segunda equação:
Como
não é o vetor nulo,
. Portanto, para que a equação seja satisfeita,
deve ser zero.
Passo 5
Com
, temos:
Isso significa que
.
Resposta
Portanto, mostramos que
quando
e
, dado que
não é o vetor nulo.