Prove the law of sines for a triangle.

Passo 1

Beleza, vamos provar a Lei dos Senos para um triângulo. Essa lei relaciona os lados de um triângulo com os senos de seus ângulos opostos. Para isso, vamos precisar das noções básicas de trigonometria e geometria dos triângulos.

Passo 2

Primeiro, desenhe um triângulo qualquer, que vamos chamar de △ABC. Vamos rotular os lados como , e , e os ângulos opostos como , e respectivamente. Ou seja, lado está oposto ao ângulo , e assim por diante.

Passo 3

Agora, vamos traçar a altura relativa ao lado . Essa altura vai do vértice até o lado , formando dois triangulos retângulos dentro do △ABC. Vamos chamar a altura de .

Passo 4

Usando a definição de seno em triângulos retângulos, sabemos que:
sin(beta) = hc
sin(gamma) = hb
Aqui, é a altura que calculamos, e e são os lados do triângulo.

Passo 5

A partir dessas duas equações, podemos isolar h = c cdot sin(beta) :
h = b cdot sin(gamma)
c cdot sin(beta) = b cdot sin(gamma)
Como ambas as expressões são iguais a , podemos igualá-las:

Passo 6

Se fizermos isso para os outros lados e ângulos, teremos:
a cdot sin(alpha) = b cdot sin(beta) = c cdot sin(gamma)
Dividindo ambos os lados pela constante asin(alpha) = bsin(beta) = csin(gamma) = 2R (onde é o raio do círculo circunscrito ao triângulo), obtemos:

Resposta

Então, provamos que:
asin(alpha) = bsin(beta) = csin(gamma)
Essa é a Lei dos Senos para qualquer triângulo.

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