Prove the law of sines for a triangle.
Passo 1
Beleza, vamos provar a Lei dos Senos para um triângulo. Essa lei relaciona os lados de um triângulo com os senos de seus ângulos opostos. Para isso, vamos precisar das noções básicas de trigonometria e geometria dos triângulos.
Passo 2
Primeiro, desenhe um triângulo qualquer, que vamos chamar de △ABC. Vamos rotular os lados como
,
e
, e os ângulos opostos como
,
e
respectivamente. Ou seja, lado
está oposto ao ângulo
, e assim por diante.
Passo 3
Agora, vamos traçar a altura relativa ao lado
. Essa altura vai do vértice
até o lado
, formando dois triangulos retângulos dentro do △ABC. Vamos chamar a altura de
.
Passo 4
Usando a definição de seno em triângulos retângulos, sabemos que:
Aqui,
é a altura que calculamos, e
e
são os lados do triângulo.
Passo 5
A partir dessas duas equações, podemos isolar
:
Como ambas as expressões são iguais a
, podemos igualá-las:
Passo 6
Se fizermos isso para os outros lados e ângulos, teremos:
Dividindo ambos os lados pela constante
(onde
é o raio do círculo circunscrito ao triângulo), obtemos:
Resposta
Então, provamos que:
Essa é a Lei dos Senos para qualquer triângulo.