The position of a point in cylindrical coordinates is specified by
. What is the location of the point
a) in Cartesian coordinates?
b) in spherical coordinates?
a) in Cartesian coordinates?
b) in spherical coordinates?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para converter a posição de um ponto em coordenadas cilíndricas para outras coordenadas. Primeiro, vamos entender que coordenadas cilíndricas usam três valores:
(a distância do ponto ao eixo vertical),
(o ângulo em relação ao eixo positivo
) e
(a altura do ponto). Vamos precisar das fórmulas de conversão para coordenadas cartesianas e esféricas.
Passo 2
Parte a: Convertendo para coordenadas Cartesianas
Para converter de coordenadas cilíndricas
para cartesianas
, usamos as seguintes fórmulas:
Vamos aplicar esses valores ao ponto dado
.
Passo 3
Calculando
:
Calculando
:
O valor de
permanece o mesmo:
Passo 4
Parte b: Convertendo para coordenadas Esféricas
Agora, vamos converter para coordenadas esféricas
, onde:
-
é a distância do ponto à origem. -
é o ângulo entre a linha que liga o ponto à origem e o eixo vertical . -
é o mesmo ângulo da coordenada cilíndrica.
As fórmulas de conversão são:
Vamos calcular cada um deles para o ponto
.
Passo 5
Calculando
:
Calculando
:
O valor de
permanece o mesmo:
Resposta
a) As coordenadas cartesianas são
.
b) As coordenadas esféricas são
.