The position of a point in cylindrical coordinates is specified by (4,2 pi / 3,3). What is the location of the point
a) in Cartesian coordinates?
b) in spherical coordinates?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para converter a posição de um ponto em coordenadas cilíndricas para outras coordenadas. Primeiro, vamos entender que coordenadas cilíndricas usam três valores: (a distância do ponto ao eixo vertical), (o ângulo em relação ao eixo positivo ) e (a altura do ponto). Vamos precisar das fórmulas de conversão para coordenadas cartesianas e esféricas.

Passo 2

Parte a: Convertendo para coordenadas Cartesianas
Para converter de coordenadas cilíndricas x = r cdot cos(theta) para cartesianas y = r cdot sin(theta) , usamos as seguintes fórmulas:
z = z
Vamos aplicar esses valores ao ponto dado .

Passo 3

Calculando x = 4 cdot cos(2pi3) = 4 cdot (-12) = -2 :
y = 4 cdot sin(2pi3) = 4 cdot (raiz32) = 2raiz3
Calculando z = 3 :
O valor de permanece o mesmo:

Passo 4

Parte b: Convertendo para coordenadas Esféricas
Agora, vamos converter para coordenadas esféricas rho = raizr^2 + z^2 , onde:
  • phi = arctan(rz) é a distância do ponto à origem.
  • theta = theta é o ângulo entre a linha que liga o ponto à origem e o eixo vertical .
  • é o mesmo ângulo da coordenada cilíndrica.
As fórmulas de conversão são:
Vamos calcular cada um deles para o ponto .

Passo 5

Calculando rho = raiz4^2 + 3^2 = raiz16 + 9 = raiz25 = 5 :
phi = arctan(43) approx 0,93 radianos
Calculando theta = 2pi3 :
O valor de permanece o mesmo:

Resposta

a) As coordenadas cartesianas são .
b) As coordenadas esféricas são .

Exercícios relacionados