Show that if the only torque on a symmetrical rigid body is about the axis of symmetry, then (omega1^2+omega2^2) is constant, where omega1 and omega2 are angular velocity components along axes perpendicular to the symmetry axis. If N3(t) is given, show how to solve for omega1, omega2, and omega3.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um corpo rígido simétrico, tipo uma roda ou um disco, e a única força que está aplicando torque nele é ao redor do eixo de simetria. A matéria que vamos usar aqui é Dinâmica de Corpos Rígidos, especificamente sobre como o torque afeta a velocidade angular. Precisamos provar que a soma dos quadrados das componentes da velocidade angular nas direções perpendiculares ao eixo de simetria, ou seja, omega1^2 + omega2^2, é constante. Depois, se nos der o torque N3(t), vamos mostrar como encontrar as componentes omega1, omega2 e omega3.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para um corpo rígido, a relação entre torque ( N) e velocidade angular ( omega) é dada pela equação de Euler:
N = dLdt + omega times L
Aqui, L é o momento angular. Como o corpo é simétrico, ele tem um eixo de simetria (vamos chamar de eixo 3) e os momentos de inércia em relação aos eixos 1 e 2 são iguais, digamos I1 = I2.

Passo 3

Como o único torque é ao longo do eixo de simetria (eixo 3), isso significa que N1 = 0 e N2 = 0. Vamos escrever as equações de Euler para cada componente:
Para o eixo 1:
0 = I1 domega1dt - (I2 - I3) omega2 omega3
Para o eixo 2:
0 = I2 domega2dt - (I3 - I1) omega3 omega1
Como I1 = I2, essas equações se simplificam.

Passo 4

Como I1 = I2, podemos reescrever as equações:
Para o eixo 1:
domega1dt = (I2 - I3)I1 omega2 omega3
Para o eixo 2:
domega2dt = (I3 - I1)I2 omega3 omega1
Como I1 = I2, isso implica que:
domega1dt = -(I3 - I1)I1 omega2 omega3
domega2dt = (I3 - I1)I1 omega3 omega1

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada de omega1^2 + omega2^2 em relação ao tempo:
ddt (omega1^2 + omega2^2) = 2omega1 domega1dt + 2omega2 domega2dt
Substituindo as expressões de domega1dt e domega2dt:
= 2omega1 (-(I3 - I1)I1 omega2 omega3) + 2omega2 ((I3 - I1)I1 omega3 omega1)

Passo 6

Perceba que os termos vão se cancelar:
= -2(I3 - I1)I1 omega1 omega2 omega3 + 2(I3 - I1)I1 omega2 omega3 omega1 = 0
Isso mostra que a derivada de omega1^2 + omega2^2 é zero, ou seja, omega1^2 + omega2^2 é constante.

Passo 7

Agora, se nos dão N3(t), que é o torque aplicado no eixo de simetria, podemos usar a equação de Euler para o eixo 3:
N3(t) = I3 domega3dt
Isso nos permite resolver para omega3:
domega3dt = N3(t)I3
Integrando essa equação em relação ao tempo, obtemos omega3(t).

Passo 8

Como omega1^2 + omega2^2 é constante, vamos chamar essa constante de C. Assim:
omega1^2 + omega2^2 = C
Para encontrar omega1 e omega2, precisamos de mais informações ou condições iniciais. No entanto, sabemos que elas estão relacionadas e suas velocidades angulares estarão variando de forma que a soma dos quadrados permaneça igual a C.

Resposta

Demonstramos que, com o torque único ao longo do eixo de simetria, a soma omega1^2 + omega2^2 permanece constante. Além disso, dado o torque N3(t), podemos integrar a equação N3(t) = I3 domega3dt para encontrar omega3(t), e então determinar omega1 e omega2 mantendo a relação omega1^2 + omega2^2 = C constante.

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