Show that if the only torque on a symmetrical rigid body is about the axis of symmetry, then
is constant, where
and
are angular velocity components along axes perpendicular to the symmetry axis. If
is given, show how to solve for
, and
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um corpo rígido simétrico, tipo uma roda ou um disco, e a única força que está aplicando torque nele é ao redor do eixo de simetria. A matéria que vamos usar aqui é Dinâmica de Corpos Rígidos, especificamente sobre como o torque afeta a velocidade angular. Precisamos provar que a soma dos quadrados das componentes da velocidade angular nas direções perpendiculares ao eixo de simetria, ou seja,
, é constante. Depois, se nos der o torque
, vamos mostrar como encontrar as componentes
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para um corpo rígido, a relação entre torque (
) e velocidade angular (
) é dada pela equação de Euler:
Aqui,
é o momento angular. Como o corpo é simétrico, ele tem um eixo de simetria (vamos chamar de eixo 3) e os momentos de inércia em relação aos eixos 1 e 2 são iguais, digamos
.
Passo 3
Como o único torque é ao longo do eixo de simetria (eixo 3), isso significa que
e
. Vamos escrever as equações de Euler para cada componente:
Para o eixo 1:
Para o eixo 2:
Como
, essas equações se simplificam.
Passo 4
Como
, podemos reescrever as equações:
Para o eixo 1:
Para o eixo 2:
Como
, isso implica que:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação ao tempo:
Substituindo as expressões de
e
:
Passo 6
Perceba que os termos vão se cancelar:
Isso mostra que a derivada de
é zero, ou seja,
é constante.
Passo 7
Agora, se nos dão
, que é o torque aplicado no eixo de simetria, podemos usar a equação de Euler para o eixo 3:
Isso nos permite resolver para
:
Integrando essa equação em relação ao tempo, obtemos
.
Passo 8
Como
é constante, vamos chamar essa constante de
. Assim:
Para encontrar
e
, precisamos de mais informações ou condições iniciais. No entanto, sabemos que elas estão relacionadas e suas velocidades angulares estarão variando de forma que a soma dos quadrados permaneça igual a
.
Resposta
Demonstramos que, com o torque único ao longo do eixo de simetria, a soma
permanece constante. Além disso, dado o torque
, podemos integrar a equação
para encontrar
, e então determinar
e
mantendo a relação
constante.