Write out the components of the orthogonal tensor corresponding to a rotation by an angle about the -axis. Find its eigenvalues. Find and interpret the eigenvectors corresponding to the real eigenvalue.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente escrever os componentes do tensor ortogonal que representa uma rotação de um ângulo em torno do eixo . Depois, precisamos encontrar os valores próprios (ou autovalores) dessa matriz e, por fim, identificar e interpretar os vetores próprios (autovetores) correspondentes ao valor próprio real.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos:
Tensor ortogonal: uma matriz que representa rotações ou reflexões no espaço, mantendo os comprimentos e ângulos.
Matriz de rotação: especificamente, a matriz que gira pontos em torno de um eixo definido.
Valores próprios e vetores próprios: para uma matriz, são escalares e vetores que satisfazem a equação .
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz de rotação para uma rotação de ângulo em torno do eixo . Sabemos que uma rotação no plano deixa o eixo inalterado. A matriz de rotação em torno do eixo é dada por:
Essa matriz gira qualquer vetor no espaço tridimensional em torno do eixo z pelo ângulo theta.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os valores próprios dessa matriz. Para isso, precisamos resolver a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade e lambda representa os valores próprios.
As duas primeiras equações são dependentes e nos indicam que qualquer vetor que esteja alinhado com o eixo v = 0 0 1 satisfaz a equação. Portanto, o vetor próprio correspondente a é:
Resposta
A matriz de rotação A em torno do eixo z por um ângulo theta é: