Write out the components of the orthogonal tensor A corresponding to a rotation by an angle theta about the z-axis. Find its eigenvalues. Find and interpret the eigenvectors corresponding to the real eigenvalue.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente escrever os componentes do tensor ortogonal A que representa uma rotação de um ângulo theta em torno do eixo z. Depois, precisamos encontrar os valores próprios (ou autovalores) dessa matriz e, por fim, identificar e interpretar os vetores próprios (autovetores) correspondentes ao valor próprio real.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos:
  • Tensor ortogonal: uma matriz que representa rotações ou reflexões no espaço, mantendo os comprimentos e ângulos.
  • Matriz de rotação: especificamente, a matriz que gira pontos em torno de um eixo definido.
  • Valores próprios e vetores próprios: para uma matriz, são escalares e vetores que satisfazem a equação Av = lambda v.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz de rotação A para uma rotação de ângulo theta em torno do eixo z. Sabemos que uma rotação no plano xy deixa o eixo z inalterado. A matriz de rotação em torno do eixo z é dada por:
A = costheta & -sintheta & 0 sintheta & costheta & 0 0 & 0 & 1
Essa matriz gira qualquer vetor no espaço tridimensional em torno do eixo z pelo ângulo theta.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores próprios dessa matriz. Para isso, precisamos resolver a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade e lambda representa os valores próprios.
Calculando A - lambda I:
A - lambda I = costheta - lambda & -sintheta & 0 sintheta & costheta - lambda & 0 0 & 0 & 1 - lambda
Calculando o determinante:
det(A - lambda I) = (1 - lambda)[(costheta - lambda)^2 + sin^2theta]
Simplificando a expressão dentro do colchete:
(costheta - lambda)^2 + sin^2theta = lambda^2 - 2lambda costheta + cos^2theta + sin^2theta = lambda^2 - 2lambda costheta + 1
Então, a equação característica fica:
(1 - lambda)(lambda^2 - 2lambda costheta + 1) = 0
Resolvendo essa equação, encontramos os valores próprios:
  1. lambda = 1
  2. lambda = costheta pm isintheta
Portanto, os valores próprios são 1, e^itheta e e^-itheta.

Passo 4

Agora, vamos identificar os vetores próprios correspondentes ao valor próprio real, que nesse caso é lambda = 1.
Para encontrar o vetor próprio correspondente a lambda = 1, resolvemos:
(A - I)v = 0
Substituindo lambda = 1 na matriz A - lambda I:

$$
costheta - 1 & -sintheta & 0 sintheta & costheta - 1 & 0 0 & 0 & 0 vx vy vz = 0 0 0
(costheta - 1)vx - sintheta vy = 0 sintheta vx + (costheta - 1)vy = 0 0 cdot vx + 0 cdot vy + 0 cdot vz = 0

z
$$
Isso nos leva ao sistema de equações:
lambda = 1
As duas primeiras equações são dependentes e nos indicam que qualquer vetor que esteja alinhado com o eixo v = 0 0 1 satisfaz a equação. Portanto, o vetor próprio correspondente a é:

Resposta

A matriz de rotação A em torno do eixo z por um ângulo theta é:
A = costheta & -sintheta & 0 sintheta & costheta & 0 0 & 0 & 1
Os valores próprios de A são 1, e^itheta e e^-itheta. O vetor próprio real associado ao valor próprio 1 é:
v = 0 0 1
Isso significa que o vetor ao longo do eixo z permanece inalterado durante a rotação.

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